bernoulli experiment und bernoulli kette

Sigmaregeln zu gegebenen Umgebungen um den Erwartungswert:

• ca. 68,3% der Werte von X liegen im Intervall [μ-σ;μ+σ].
• ca. 95,5% der Werte von X liegen im Intervall [μ-2σ;μ+2σ].
• ca. 99,7% der Werte von X liegen im Intervall [μ-3σ;μ+3σ].
• 90% der Werte von X liegen im Intervall [μ-1,64σ;μ+1,64σ].
• 95% der Werte von X liegen im Intervall [μ-1,96σ;μ+1,96σ].
• 99% der Werte von X liegen im Intervall [μ-2,58σ;μ+2,58σ].

Wenn die Laplace-Bedingung σ > 3 erfüllt ist, erhält man mit den Sigmaregeln zuverlässige Werte.

Aufgaben zu Bernoulli-Kette und Binomialverteilung

Mit diesen gemischten Übungsaufgaben lernst du, Bernoulli-Ketten zu erkennen und Wahrscheinlichkeiten mit der Binomialverteilung zu berechnen.

In einem Forum wird eine wichtige Frage gestellt, woraufhin 6 Personen eine Antwort formulieren, ohne die Antwort der anderen gesehen zu haben. Hierbei gibt jeder von ihnen mit einer 70%igen Wahrscheinlichkeit die richtige Antwort.

Wie könnte man dies als Bernoulli-Kette darstellen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bernoulli-Kette

Die Antworten werden unabhängig voneinander bewertet.

Jede Antwort kann richtig mit Wahrscheinlichkeit 0,7 oder falsch mit Wahrscheinlichkeit 0,3 sein.

Die 6 Antworten werden jetzt hintereinander als Bernoulli-Experimente betrachtet.

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👉

Mit welcher Wahrscheinlichkeit

(1) haben alle sechs mit ihrer Antwort recht?

(2) hat keiner von ihnen recht?

(3) geben genau der erste und letzte die richtige Antwort?

(4) gibt mindestens einer die richtige Antwort?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeiten berechnen

P("Person hat recht")= P ( R ) \mathrm P\left(\mathrm R\right) P ( R ) = 0,7

Bestimmte die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis

P("Person hat unrecht")= P ( R ‾ ) \mathrm P\left(\overline{\mathrm R}\right) P ( R ) = 0,3

Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben alle sechs mit ihrer Antwort recht?

Ob eine Antwort richtig ist wird nicht von der Richtigkeit der anderen Antworten beeinflusst, also sind die Ereignisse stochastisch unabhängig.Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen, dass alle Personen richtig liegen, musst du also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person richtig liegt, hoch die Anzahl der Personen nehmen.

P("alle sechs haben recht")= P ( R ) 6 P\left(R\right)^6 P ( R ) 6

= 0 , 7 6 ≈ 0 , 118 = 11 , 8 % =0{,}7^6 \approx0{,}118=11{,}8\% = 0 , 7 6 ≈ 0 , 118 = 11 , 8%

Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat keiner von ihnen recht?

Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen, dass alle Personen falsch liegen, musst du die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person falsch liegt hoch die Anzahl der Personen nehmen.

P("alle sechs haben unrecht") = P ( R ‾ ) 6 P\left(\overline R\right)^6 P ( R ) 6

= 0 , 3 6 = 0 , 000729 = 0 , 0729 % =0{,}3^6=0{,}000729=0{,}0729\% = 0 , 3 6 = 0 , 000729 = 0 , 0729%

Mit welcher Wahrscheinlichkeit geben genau der erste und letzte die richtige Antwort?

Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen, dass genau der erste und der letzte die richtige Antwort geben, musst du die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Antworten miteinander multiplizieren (wegen der stochastischen Unabhängigkeit ), wobei gilt: P=0,7 wenn die Antwort richtig und P=0,3 wenn die Antwort falsch ist.

P("genau erste und letzte die richtige Antwort richtig") = 0 , 7 ⋅ 0 , 3 ⋅ 0 , 3 ⋅ 0 , 3 ⋅ 0 , 3 ⋅ 0 , 7 0{,}7\cdot0{,}3\cdot0{,}3\cdot0{,}3\cdot0{,}3\cdot0{,}7 0 , 7 ⋅ 0 , 3 ⋅ 0 , 3 ⋅ 0 , 3 ⋅ 0 , 3 ⋅ 0 , 7

= 0 , 003969 = 0 , 3969 % =0{,}003969=0{,}3969\% = 0 , 003969 = 0 , 3969%

Mit welcher Wahrscheinlichkeit gibt mindestens einer die richtige Antwort?

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine Antwort richtig ist, kannst du mit Hilfe des Gegenereignisses (alle sechs haben Unrecht) berechnen.

P("mindestens eine Antwort richtig") = 1 − 0 , 000729 =1-0{,}000729 = 1 − 0 , 000729

= 0 , 999271 = 99 , 9271 % =0{,}999271=99{,}9271\% = 0 , 999271 = 99 , 9271%

Wie viele Personen müssten mindestens auf die Frage antworten, um mit einer Wahrscheinlichkeit, die größer als 99% ist, zumindest eine richtige Antwort zu erhalten?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen mit Wahrscheinlichkeiten

Berechne P ( P( P ( "mindestens einer hat Recht" ) ) ) mit Hilfe der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses: P ( P( P ( "keiner hat Recht" ) ) )

⇒ \Rightarrow ⇒  Es müssen mindesten 4 Leute antworten, damit die Wahrscheinlichkeit über 99% Prozent liegt.

Eine bestimmte Maschine besteht aus 8 unabhängig voneinander arbeitenden Teilen. Jedes Teil funktioniert mit der Wahrscheinlichkeit p nicht. Fallen mindestens 2 dieser Teile aus, wird die Maschine funktionsunfähig.

Wie groß darf p, auf eine Stelle hinter dem Komma gerundet, höchstens sein, damit die Maschine mit (mindestens) 80% Sicherheit arbeiten kann?

Definiere die Zufallsvariable X X X ="Anzahl der Teile der Maschine, die nicht funktionieren"

P ( "Maschine l a ¨ uft" ) P(\text{"Maschine läuft"}) P ( "Maschine l a ¨ uft" ) = P ( X ≤ 1 ) P\left(X\leq1\right) P ( X ≤ 1 )

X X X hat Binomialverteilung mit n = 8 n=8 n = 8 . Es gibt nämlich ( 8 k ) \begin{pmatrix}8\\ k \end{pmatrix} ( 8 k ​ ) Möglichkeiten, dass k k k der 8 8 8 Teile nicht funktionieren; für jedes einzelne Teil ist die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht funktioniert, gleich p p p .

P ( X = k ) = ( 8 k ) ⋅ p k ⋅ ( 1 − p ) 8 − k \mathrm P(\mathrm X=\mathrm k)=\begin{pmatrix}8\\\mathrm k\end{pmatrix}\cdot p^\mathrm k\cdot\left(1-\mathrm p\right)^{8-\mathrm k} P ( X = k ) = ( 8 k ​ ) ⋅ p k ⋅ ( 1 − p ) 8 − k

Du brauchst für diese Aufgabe nun die kumulierte Wahrscheinlichkeit, d. h. die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X ≤ 1 X \leq 1 X ≤ 1 ist.

Setze die Wahrscheinlichkeit größer gleich als 80 % 80\% 80% und schaue im Tafelwerk der Stochastik nach, für welche p p p die Ungleichung immer noch erfüllt ist.

P ( X ≤ 1 ) ≥ 0 , 8 \mathrm P\left(\mathrm X\leq1\right)\geq0{,}8 P ( X ≤ 1 ) ≥ 0 , 8

Dem Tafelwerk entnimmst du: Für alle Werte von p p p die unter 0 , 1 0{,}1 0 , 1 liegen, ist die Ungleichung sicher erfüllt, für p = 0 , 125 p=0{,}125 p = 0 , 125 bereits nicht mehr.

⇒ p ≤ 0 , 1 \Rightarrow \mathrm p\leq 0{,}1 ⇒ p ≤ 0 , 1

Bitte melde dich an, um diese Funktion zu benutzen.

Eine Firma stellt Computertastaturen her, von denen 2 % Ausschuss sind. Bestimme die Anzahl der Tastaturen, die mindestens produziert werden müssen, damit mit 90%iger Wahrscheinlichkeit zumindest eine defekte dabei ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeiten

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Mindestens eine Tastatur ist defekt“ kannst du direkt nur sehr schwierig berechnen. Deshalb ist es sinnvoll, diese Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis „Keine Tastatur ist defekt“ zu berechnen.

Du startest also mit folgendem Ansatz:

P ( „Mindestens eine Tastatur ist defekt“ ) = 1 − P ( „Keine Tastatur ist defekt“ ) P(\text{„Mindestens eine Tastatur ist defekt“}) = 1 - P(\text{„Keine Tastatur ist defekt“}) P ( „Mindestens eine Tastatur ist defekt“ ) = 1 − P ( „Keine Tastatur ist defekt“ )

Stelle nun die Formel für die Binomialverteilung von P ( „Keine Tastatur ist defekt“ ) P(\text{„Keine Tastatur ist defekt“}) P ( „Keine Tastatur ist defekt“ ) auf (also k = 0 k=0 k = 0 , da keine defekt ist).

Führe den zuvor aufgestellten Ansatz mit P(„mindestens eine Tastatur ist defekt“) = 90   % {}=90\,\% = 90 % aus.

In einem Multiple-Choice-Test gibt es 20 Aufgaben, bei denen man aus drei möglichen Lösungen die richtige ankreuzen muss. Felix hat sich nicht auf den Test vorbereitet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird er trotzdem genau die Hälfte der Fragen richtig beantworten?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung

Berechne die Wahrscheinlichkeit, indem du die gegebenen Werte in die Formel der Binomialverteilung einsetzt:

geg: n = 20 ,    p = 1 3 ,    k = 10 n=20,\;p=\frac13,\;k=10 n = 20 , p = 3 1 ​ , k = 10

Wende die Formel für den Binomialkoeffizienten an:

P = ( 20 10 ) ⋅ ( 1 3 ) 10 ⋅ ( 1 − 1 3 ) 20 − 10 P=\begin{pmatrix}20\\10\end{pmatrix}\cdot\left(\frac13\right)^{10}\cdot\left(1-\frac13\right)^{20-10} P = ( 20 10 ​ ) ⋅ ( 3 1 ​ ) 10 ⋅ ( 1 − 3 1 ​ ) 20 − 10

= 20 ! 10 ! ( 20 − 10 ) ! ⋅ ( 1 3 ) 10 ⋅ ( 1 − 1 3 ) 20 − 10 =\frac{20!}{10!\left(20-10\right)!}\cdot\left(\frac13\right)^{10}\cdot\left(1-\frac13\right)^{20-10} = 10 ! ( 20 − 10 ) ! 20 ! ​ ⋅ ( 3 1 ​ ) 10 ⋅ ( 1 − 3 1 ​ ) 20 − 10

= 20 ! 10 ! ⋅ 10 ! ⋅ ( 1 3 ) 10 ⋅ ( 2 3 ) 10 =\frac{20!}{10!\cdot10!}\cdot\left(\frac13\right)^{10}\cdot\left(\frac23\right)^{10} = 10 ! ⋅ 10 ! 20 ! ​ ⋅ ( 3 1 ​ ) 10 ⋅ ( 3 2 ​ ) 10

≈ 0 , 05426 ≈ 5 , 4 % \approx0{,}05426\approx5{,}4\% ≈ 0 , 05426 ≈ 5 , 4%

⇒ \Rightarrow ⇒ Zu 5 , 4 % 5{,}4\% 5 , 4% beantwortet er genau die Hälfte der Fragen richtig.

Aus einem Kartenspiel mit 52 Karten wird immer eine Karte gezogen und dann wieder zurückgesteckt.

Wie oft muss dies wiederholt werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% mindestens zwei Pikkarten zu ziehen?

Bezeichne mit X X X die Anzahl der gezogenen Pikkarten.

Bei jedem Ziehen ist der Anteil der Pikkarten an allen Karten 13 52 = 1 4 \frac{13}{52}=\frac14 52 13 ​ = 4 1 ​ .

geg.: p = 1 4 p=\frac14 p = 4 1 ​

Stelle die Formel für die Binomialverteilung von  P ( X = k ) \mathrm P\left(\mathrm X=\mathrm k\right) P ( X = k ) auf. P ( X = k ) \mathrm P\left(\mathrm X=\mathrm k\right) P ( X = k ) ist die Wahrscheinlichkeit, dass von n gezogenen Karten k Pikkarten sind.

P ( X = k ) = ( n k ) ⋅ ( 1 4 ) k ⋅ ( 3 4 ) n − k P\left(X=k\right)=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\cdot\left(\frac14\right)^k\cdot\left(\frac34\right)^{n-k} P ( X = k ) = ( n k ​ ) ⋅ ( 4 1 ​ ) k ⋅ ( 4 3 ​ ) n − k

P ( X ≥ 2 ) = 1 − P ( X ≤ 1 ) \mathrm P\left(\mathrm X\geq2\right)=1-\mathrm P\left(\mathrm X\leq1\right) P ( X ≥ 2 ) = 1 − P ( X ≤ 1 )

Setze die Wahrscheinlichkeit größer gleich 60%

Schaue in dem Tafelwerk der Stochastik nach ( → k = 1 ; p = 1 4 \rightarrow\mathrm k=1;\mathrm p=\frac14 → k = 1 ; p = 4 1 ​ ) für welches möglichst kleine n die Ungleichung noch erfüllt ist.

f u ¨ r    n = 7 : P ( X ≤ 1 ) = 0 , 44495 \mathrm{für \;n=7:P(X \leq 1) =0{,}44495} f u ¨ r n = 7 : P ( X ≤ 1 ) = 0 , 44495

f u ¨ r    n = 8 : P ( X ≤ 1 ) = 0 , 36708 \mathrm{für \;n=8:P(X \leq 1) =0{,}36708} f u ¨ r n = 8 : P ( X ≤ 1 ) = 0 , 36708

Damit muss 8 mal gezogen werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% mindestens 2 Pikkarten zu ziehen.

In einer Urne befinden sich 13 weiße und 16 rote Kugeln, von denen 10 zufällig herausgegriffen werden. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter ihnen genau 6 weiße sind?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment

Bezeichne mit X \mathrm X X die Anzahl der gezogenen weißen Kugeln

P ( A ) = ∣ A ∣ ∣ Ω ∣ \mathrm P\left(\mathrm A\right)=\frac{\left|\mathrm A\right|}{\left|\mathrm\Omega\right|} P ( A ) = ∣ Ω ∣ ∣ A ∣ ​

Berechne ∣ A ∣ \left|\mathrm A\right| ∣ A ∣ .

Es gibt ( 13 6 ) \begin{pmatrix}13\\6\end{pmatrix} ( 13 6 ​ ) Möglichkeiten, 6 weiße Kugeln auszuwählen. Für jede dieser Möglichkeiten gibt es ( 16 4 ) \begin{pmatrix}16\\4\end{pmatrix} ( 16 4 ​ ) Möglichkeiten, 4 rote Kugeln auszuwählen.

⇒ ∣ A ∣ = \Rightarrow\left|\mathrm A\right|= ⇒ ∣ A ∣ = ( 13 6 ) \begin{pmatrix}13\\6\end{pmatrix} ( 13 6 ​ ) ⋅ \cdot ⋅ ( 16 4 ) \begin{pmatrix}16\\4\end{pmatrix} ( 16 4 ​ )

Berechne nun ∣ Ω ∣ \left|\mathrm\Omega\right| ∣ Ω ∣ .

Es gibt insgesamt ( 29 10 ) \begin{pmatrix}29\\10\end{pmatrix} ( 29 10 ​ ) Möglichkeiten, um 10 Kugeln auszuwählen.

Berechne P ( X = 6 ) \mathrm P\left(\mathrm X=6\right) P ( X = 6 ) .

P ( X = 6 ) = ( 13 6 ) ⋅ ( 16 4 ) ( 29 10 ) = \mathrm P\left(\mathrm X=6\right)=\frac{\begin{pmatrix}13\\6\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}16\\4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}29\\10\end{pmatrix}}= P ( X = 6 ) = ( 29 10 ​ ) ( 13 6 ​ ) ⋅ ( 16 4 ​ ) ​ =

= 3123120 20030010 = 104 667 ≈ 15 , 6 % =\frac{3123120}{20030010}=\frac{104}{667}\approx15{,}6\% = 20030010 3123120 ​ = 667 104 ​ ≈ 15 , 6%

In einer Bar gibt es jeden Samstag Abend ein Würfelspiel. Hierbei kann der Barbesucher seinen bestellten Cocktail umsonst trinken, wenn er gewinnt.

Die Regeln sind einfach: Barkeeper und Kunde würfeln einen sechsseitigen, nichtgezinkten Würfel.

Würfelt der Besucher eine höhere Zahl als der Barkeeper, gewinnt er.

Wie oft muss ein Besucher würfeln, damit seine Gewinnwahrscheinlichkeit auf einen Gratis-Cocktail bei mindestens 80% liegen?

Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass ein Barbesucher das Spiel gewinnt:

Der Spieler gewinnt bei einer eigenen 6, wenn der Barkeeper eine 1-5 würfelt.

Der Spieler gewinnt bei einer eigenen 5 wenn der Barkeeper eine 1-4 würfelt.

Der Spieler gewinnt bei einer eigenen 2, wenn der Barkeeper eine 1 würfelt.

Der Spieler verliert bei einer eigenen 1 immer.

Von insgesamt 36 Würfelkombinationen, gewinnt der Spieler bei 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 5+4+3+2+1=15 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 Würfelkombinationen.

Die Gewinnwahrscheinlichkeit p p p eines Barbesuchers bei einem Spiel beträgt also p = 15 36 = 5 12 p=\frac{15}{36}=\frac{5}{12} p = 36 15 ​ = 12 5 ​ .

Wie oft muss ein Barbesucher würfeln, damit seine Gewinnwahrscheinlichkeit bei mehr als 80% liegt?

Der Kunde gewinnt einen Cocktail, wenn der Barkeeper einmal nicht gewinnt.

Der Barkeeper hat eine Gewinnwahrscheinlichkeit q = 1 − p = 1 − 5 12 = 7 12 q=1-p=1-\frac{5}{12}=\frac{7}{12} q = 1 − p = 1 − 12 5 ​ = 12 7 ​ .

Wir suchen also eine natürliche Zahl n ∈ N n\in\mathbb{N} n ∈ N , die angibt, nach wie vielen Versuchen ein durchgängiger Sieg des Barkeepers unwahrscheinlicher als 20 % 20\% 20% ist.

In mathematischer Schreibweise: Gesucht ist eine natürliche Zahl n ∈ N n\in\mathbb{N} n ∈ N , sodass ( 7 12 ) n < 0 , 2 (\frac{7}{12})^n<0{,}2 ( 12 7 ​ ) n < 0 , 2 .

Lösung mit dem Logarithmus:

n > log ⁡ 7 12 ( 0 , 2 ) ≈ 2 , 99 n>\log_{\frac{7}{12}}\left(0{,}2\right)\approx2{,}99 n > lo g 12 7 ​ ​ ( 0 , 2 ) ≈ 2 , 99 .

Antwort: Der Kunde muss somit mindestens 3 Spiele spielen.

Eine Gruppe von 5 Personen trinken an einem Samstag 10 Cocktails. Wie wahrscheinlich ist es, dass

. \phantom{.} . A . \phantom{.} . Kein Cocktail gewonnen wird?

. \phantom{.} . B . \phantom{.} . Genau drei Cocktails gewonnen werden?

. \phantom{.} . C . \phantom{.} . Mehr als drei Cocktails gewonnen werden?

. \phantom{.} . D . \phantom{.} . Genau neun Cocktails gewonnen werden?

. \phantom{.} . E . \phantom{.} . Alle zehn Cocktails gewonnen werden?

Zufallsgröße X X X : Anzahl der Gewinne

Länge der Bernoullikette: n = 10 n=10 n = 10

Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (einen Cocktailgewinn): p = 5 12 p=\frac5{12} p = 12 5 ​

Anzahl der Gewinne: X = 0 X=0 X = 0

P ( X = 0 ) = ( 5 12 ) 0 ⋅ ( 7 12 ) 10 ≈ 0 , 004562133 ≈ 0 , 46   % P(X=0)=\left(\frac5{12}\right)^{0}\cdot(\frac7{12})^{10} \approx0{,}004562133\approx0{,}46\,\% P ( X = 0 ) = ( 12 5 ​ ) 0 ⋅ ( 12 7 ​ ) 10 ≈ 0 , 004562133 ≈ 0 , 46 %

Anzahl der Gewinne X = 3 X=3 X = 3

P ( X = 3 ) = ( 10 3 ) ⋅ ( 5 12 ) 3 ⋅ ( 7 12 ) 7 ≈ 0 , 19951 ≈ 19 , 95   % P(X=3)=\begin{pmatrix}10\\3\end{pmatrix}\cdot\left(\frac5{12}\right)^3\cdot\left(\frac7{12}\right)^7\approx0{,}19951\approx19{,}95\,\% P ( X = 3 ) = ( 10 3 ​ ) ⋅ ( 12 5 ​ ) 3 ⋅ ( 12 7 ​ ) 7 ≈ 0 , 19951 ≈ 19 , 95 % .

Anzahl der Gewinne X > 3 X>3 X > 3

P ( X = 0 ) P(X=0) P ( X = 0 ) und P ( X = 3 ) P(X=3) P ( X = 3 ) haben wir in 1 und 2 berechnet. Es fehlen also nur noch P ( X = 1 ) P(X=1) P ( X = 1 ) und P ( X = 2 ) P(X=2) P ( X = 2 ) .

P ( X = 1 ) = ( 10 1 ) ⋅ ( 5 12 ) 1 ⋅ ( 7 12 ) 9 ≈ 0 , 03259 ≈ 3 , 26   % P(X=1)=\begin{pmatrix}10\\1\end{pmatrix}\cdot\left(\frac5{12}\right)^1\cdot\left(\frac7{12}\right)^9\approx 0{,}03259\approx 3{,}26\,\% P ( X = 1 ) = ( 10 1 ​ ) ⋅ ( 12 5 ​ ) 1 ⋅ ( 12 7 ​ ) 9 ≈ 0 , 03259 ≈ 3 , 26 %

P ( X = 2 ) = ( 10 2 ) ⋅ ( 5 12 ) 2 ⋅ ( 7 12 ) 8 ≈ 0 , 10474 ≈ 10 , 47   % P(X=2)=\begin{pmatrix}10\\2\end{pmatrix}\cdot\left(\frac5{12}\right)^2\cdot\left(\frac7{12}\right)^8\approx 0{,}10474\approx 10{,}47\,\% P ( X = 2 ) = ( 10 2 ​ ) ⋅ ( 12 5 ​ ) 2 ⋅ ( 12 7 ​ ) 8 ≈ 0 , 10474 ≈ 10 , 47 %

Anzahl der Gewinne X = 9 X=9 X = 9

P ( X = 9 ) = ( 10 9 ) ⋅ ( 5 12 ) 9 ⋅ ( 7 12 ) 1 ≈ 0 , 00221 ≈ 0 , 22   % P(X=9)=\begin{pmatrix}10\\9\end{pmatrix}\cdot\left(\frac5{12}\right)^9\cdot\left(\frac7{12}\right)^1\approx0{,}00221\approx0{,}22\,\% P ( X = 9 ) = ( 10 9 ​ ) ⋅ ( 12 5 ​ ) 9 ⋅ ( 12 7 ​ ) 1 ≈ 0 , 00221 ≈ 0 , 22 %

Anzahl der Gewinne X = 10 X=10 X = 10

P ( X = 10 ) = ( 10 10 ) ⋅ ( 5 12 ) 10 ⋅ ( 7 12 ) 0 ≈ 0 , 0001577 ≈ 0 , 016   % P(X=10)=\begin{pmatrix}10\\10\end{pmatrix}\cdot\left(\frac5{12}\right)^{10}\cdot\left(\frac7{12}\right)^0\approx0{,}0001577\approx0{,}016\,\% P ( X = 10 ) = ( 10 10 ​ ) ⋅ ( 12 5 ​ ) 10 ⋅ ( 12 7 ​ ) 0 ≈ 0 , 0001577 ≈ 0 , 016 %

Wie oft muss die Gruppe das Spiel mit dem Barkeeper spielen, damit sie zu mindestens 95% Wahrscheinlichkeit zehn Cocktails gewinnen?

Die Gruppe soll zu mindestens 95% Wahrscheinlichkeit zehn Cocktails gewinnen. Da in der Angabe nicht die Rede von genau 10 Cocktails ist, dürfen sie auch mehr als 10 Cocktails gewinnen.

Gesucht ist also die Anzahl der Würfe n n n , sodass P ( X ≥ 10 ) ≥ 0 , 95 P(X\geq10)\geq0{,}95 P ( X ≥ 10 ) ≥ 0 , 95 ist.

Zur leichteren Berechnung kannst du die Gleichung auch über das Gegenereignis ausdrücken.

P ( X ≤ 9 ) P(X\leq9) P ( X ≤ 9 ) ist händisch umständlich zu rechnen, da P ( X ≤ 9 ) = P ( X = 0 ) + P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ) + . . . + P ( X = 9 ) P(X\leq9) =P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+...+P(X=9) P ( X ≤ 9 ) = P ( X = 0 ) + P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ) + ... + P ( X = 9 ) ist.

Du kannst den Ausdruck aber mithilfe des Taschenrechners für verschiedene Werte von n n n berechnen.

Gesucht ist die kleinste Zahl n n n , für die P ( X ≤ 9 ) P(X\leq9) P ( X ≤ 9 ) kleiner als 0 , 05 0{,}05 0 , 05 ist. Probiere so lange Werte aus, bis du n n n gefunden hast.

So ein Herantasten an die Lösung kann z.B. so aussehen:

Durch Probieren hast du so herausgefunden, dass n = 34 n=34 n = 34 sein muss.

Antwort: Bei 34-maligem Werfen ist die Wahrscheinlichkeit mindestens 95 % 95\% 95% (mindestens) 10 Cocktails zu gewinnen. Die Gruppe muss also mindestens 34 Mal Würfeln.

Der durchschnittliche Preis für einen Cocktail beträgt 6,90€. Die Kosten für diesen inklusive dem Lohn für den Barkeeper sind für den Betreiber der Bar etwa 4€. Ein durchschnittlicher Gast trinkt 1,5 Cocktails. An einem Freitag (ohne dieses Angebot) trinken die Gäste am Abend etwa 120 Cocktails.

Wie viele Gäste mehr müssen durch das besondere Spiel angelockt werden, damit sich dieses für den Betreiber der Bar lohnt?

Ein Gast ist ein Halunke, der mogelt. Er nutzt die Unaufmerksamkeit des Kellners aus, indem er seinen Wurf zunächst unter dem Würfelbecher heimlich betrachtet und bei einer gewürfelten 1-3 den Würfel nochmal unbemerkt würfelt.

Wie ist nun seine Gewinnchance?

Eine Firma für Bohrmaschinen stellt mit 20 20% 20 Ausschuss her. Das heißt, dass jede fünfte Bohrmaschine fehlerhaft hergestellt wird.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter 100 zufällig gewählten Bohrmaschinen kein Ausschussstück zu finden ist?

Berechne die Wahrscheinlichkeit, indem du die gegebenen Werte in die Formel der Binomialverteilung einsetzt.

n = 100 n=100 n = 100

p = 0 , 2 p=0{,}2 p = 0 , 2

k = 0 k=0 k = 0

⇒    \Rightarrow\; ⇒ Die Wahrscheinlichkeit, dass keine Bohrmaschine ein Ausschussstück ist, beträgt 2 , 037 ⋅ 1 0 − 8 % 2{,}037\cdot10^{-8}\% 2 , 037 ⋅ 1 0 − 8 % .

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 20 Bohrmaschinen zum Ausschuss zählen?

k = 20 k=20 k = 20

⇒    \Rightarrow\; ⇒ Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 20 Bohrmaschinen Ausschussstücke sind, beträgt 9,9%

Ein Taschenrechner kann den Befehl n ! n! n ! nur für n ≤ 69 n\leq 69 n ≤ 69 verarbeiten. Die obige Berechnung kann also nicht mit dem T R TR TR erfolgen.

Alternative Berechnungen

Benutze den Befehl "nCr". In diesem Fall 100 n C r 20 ⋅ 0 , 2 20 ⋅ 0 , 8 80 ≈ 0 , 0993 100nCr20\cdot0{,}2^{20}\cdot0{,}8^{80}\approx 0{,}0993 100 n C r 20 ⋅ 0 , 2 20 ⋅ 0 , 8 80 ≈ 0 , 0993

Verwende Binomial P D PD P D und setze für x = 20 x=20 x = 20 , N = 100 N=100 N = 100 und p = 0 , 2 p=0{,}2 p = 0 , 2 , also B ( 100 ; 0 , 2 ; 20 ) ≈ 0 , 0993 B(100;0{,}2;20)\approx 0{,}0993 B ( 100 ; 0 , 2 ; 20 ) ≈ 0 , 0993 .

Auch mit einer Binomialverteilungstabelle kann der Wert gefunden werden (siehe den folgenden ausklappbaren Text).

Lukas ist Biathlet und besitzt eine Treffsicherheit von p = 0 , 85 p=0{,}85 p = 0 , 85 . Nach einem Durchgang auf seinen Langlauf-Ski legt sich Lukas an den Schießstand und gibt 5 5 5 Schüsse auf die Scheiben.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Lukas alle Scheiben trifft.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit beträgt:

Die Wahrscheinlichkeit, dass Lukas eine Scheibe trifft, ist p = 0 , 85 p=0{,}85 p = 0 , 85 . Diese Wahrscheinlichkeit gilt für jeden der 5 5 5 Schüsse und muss kombiniert werden.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass Lukas die ersten beiden trifft.

Orientiere dich an der ersten Teilaufgabe und "bestimme" die Wahrscheinlichkeit, dass im dritten, vierten und fünften Schuss einfach "irgendwas" passiert.

Nach einer weiteren Runde Langlauf, fällt es Lukas schwerer sich zu konzentrieren. Seine Treffsicherheit beträgt ab jetzt p = 0 , 6 p=0{,}6 p = 0 , 6 . Nach seinem Durchgang zeigen die Scheiben das folgende Muster:

Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er genau dieses Muster getroffen?

Verwende die veränderte Wahrscheinlichkeit und kombiniere sie für das angegebene Muster.

Für den letzten Durchgang benötigt er genau vier Treffer. Wie viele Muster kann Lukas auf seinen Scheiben schießen, damit dieses Ereignis erfüllt ist?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik

Es gibt 5 5 5 Muster, die genau vier Treffer enthalten.

Stelle die Muster grafisch dar.

Begründe, dass sich die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis

E :   " L u k a s   t r i f f t   g e n a u   v i e r   m a l . " E:\ "Lukas\ trifft\ genau\ vier\ mal." E :   " Lu ka s   t r i ff t   g e na u   v i er   ma l ."

folgendermaßen berechnen lässt:

Die Wahrscheinlichkeit in der Bernoulli-Kette ist

Die Faktoren haben folgende Bedeutungen:

n = 5 n=5 n = 5 bezeichnet die Anzahl der Schüsse

k = 4 k=4 k = 4 ist die Anzahl der Treffer. Dann ist ( n k ) = ( 5 4 ) = 5 \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}=5 ( n k ​ ) = ( 5 4 ​ ) = 5 .

p k = 0 , 6 4 p^k=0{,}6^4 p k = 0 , 6 4 bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass viermal getroffen wurde.

( 1 − p ) n − k = 0 , 4 5 − 4 = 0 , 4 (1-p)^{n-k}=0{,}4^{5-4}=0{,}4 ( 1 − p ) n − k = 0 , 4 5 − 4 = 0 , 4 bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass einmal nicht getroffen wurde.

Also ist die Wahrscheinlichkeit für 4 4 4 Treffer gleich

Setze in die Formel der Bernoulli-Kette ein.

Was ist der Unterschied zwischen einem Laplace-Experiment und einem Bernoulli-Experiment?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bernoulli-Experiment

Ein Laplace-Experiment kann beliebig viele Ergebnisse in der Ergebnismenge Ω \Omega Ω haben, ein Bernoulli-Experiment nur genau zwei. Diese bezeichnet man meistens als "Treffer" und "Nichttreffer".

Außerdem müssen beim Laplace-Experiment alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sein. Bei Bernoulli ist das nicht so.

Was ist eine Bernoulli-Kette im Vergleich zu einem Bernoulli-Experiment?

Wird ein Bernoulli-Experiment

mehrmals ( n n n -Mal) hintereinander ausgeführt

wobei die Wahrscheinlichkeit p p p für einen Treffer bei jeder Ausführung gleich bleibt

und die Reihenfolge der Treffer nicht beachtet wird

so handelt es sich um eine Bernoulli-Kette (der Länge n n n mit Trefferwahrscheinlichkeit p p p )

Entscheide jeweils, ob es sich um ein Laplace-Experiment, ein Bernoulli-Experiment, beides oder keins von beidem handelt.

Ein fairer Würfel wird geworfen und die Augenzahl notiert

Laplace-Experiment

Bernoulli-Experiment

keins von beidem

Da die Ergebnismenge Ω = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 } \Omega=\left\{1;2;3;4;5;6\right\} Ω = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 } mehr als zwei Ergebnisse enthält, diese aber alle gleich wahrscheinlich sind, handelt es sich um ein Laplace-Experiment.

Ein Bernoulli-Experiment hat nur zwei mögliche Ergebnisse.

Bei einem Laplace-Experiment müssen alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sein.

Ein fairer Würfel wird geworfen und notiert, ob eine 6 gefallen ist oder nicht.

Da es nur zwei mögliche Ergebnisse in der Ergebnismenge Ω = { 6 ; 6 ‾ } \Omega=\left\{6;\overline{6}\right\} Ω = { 6 ; 6 } gibt, ist es ein Bernoulli-Experiment. Da die beiden Ergebnisse nicht gleich wahrscheinlich sind, ist es kein Laplace-Experiment.

Es wird morgens aus dem Fenster geschaut und notiert, welches Wetter draußen ist.

Da nicht genau spezifiziert ist, welche Wettersituationen unterschieden werden, kann es mehr als zwei Ergebnisse in der Ergebnismenge Ω \Omega Ω geben. Zum Beispiel Regen, Sonne, Nebel, Schnee, Wolken,...

Diese sind außerdem nicht gleich wahrscheinlich.

Es ist also weder ein Laplace-Experiment noch ein Bernoulli-Experiment.

Eine zufällige Person wird nach ihrer Blutgruppe (A/B/AB/0) gefragt.

Da die Ergebnismenge Ω = { A , B , A B , 0 } \Omega=\left\{A,B,AB,0\right\} Ω = { A , B , A B , 0 } mehr als zwei Ergebnisse enthält, ist es kein Bernoulli-Experiment.

Da außerdem die Blutgruppen nicht gleich wahrscheinlich sind, ist es auch kein Laplace-Experiment.

Eine faire Münze wird einmal geworfen.

Da die Ergebnismenge Ω = { Z ; K } \Omega=\left\{Z;K\right\} Ω = { Z ; K } genau die zwei Ergebnisse Kopf und Zahl enthält, ist es ein Bernoulli-Experiment.

Da die beiden Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, weil die Münze fair, also ungezinkt ist, ist es außerdem ein Laplace-Experiment.

Eine gezinkte Münze wird einmal geworfen.

Da die beiden Ergebnisse nicht gleich wahrscheinlich sind, weil die Münze gezinkt ist, ist es kein Laplace-Experiment.

Eine zufällig ausgewählte Person in der Bevölkerung wird gefragt, ob sie raucht.

Da die Ergebnismenge Ω = { R ; R ‾ } \Omega=\left\{R;\overline{R}\right\} Ω = { R ; R } genau die zwei Ergebnisse Raucher (R) und Nichtraucher ( R ‾ \overline{R} R ) enthält, ist es ein Bernoulli-Experiment.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person raucht, müsste 50   % 50\ \% 50   % betragen, damit es sich um ein Laplace-Experiment handelt. Das bedeutet, dass 50   % 50\ \% 50   % der Bevölkerung rauchen müssten. Die Prozentzahl liegt aber laut Daten des Bundesgesundheitsministeriums in den letzten Jahren deutlich darunter.

Entscheide jeweils, ob es sich um eine Bernoulli-Kette handelt.

Aus einer Urne mit 10 10 10 roten und 20 20 20 blauen Kugeln wird mit Zurücklegen fünfmal hintereinander gezogen.

für einmal Ziehen gibt es nur zwei mögliche Ergebnisse (= Bernoulli-Experiment ) und

die Trefferwahrscheinlichkeit p p p bleibt durch das Zurücklegen der gezogenen Kugel immer gleich.

Falls genaueres über die gesuchte Zahl der Treffer bekannt ist, musst du noch überprüfen, ob die Reihenfolge der Treffer wichtig ist. Dann ist es nämlich keine Bernoulli-Kette.

Die beschriebene Situation ist aber eine Bernoulli-Kette mit Länge n = 5 n=5 n = 5 und Trefferwahrscheinlichkeit p = 10 30 p=\frac{10}{30} p = 30 10 ​ , falls man die rote Kugel als Treffer bezeichnet und p = 20 30 p=\frac{20}{30} p = 30 20 ​ , falls man die blaue Kugel als Treffer bezeichnet.

Damit es sich um eine Bernoulli-Kette handelt, muss

das einzelne Experiment ein Bernoulli-Experiment sein

die Trefferwahrscheinlichkeit gleich bleiben

und die Reihenfolge der Treffer egal sein

Aus einer Urne mit 10 10 10 roten und 20 20 20 blauen Kugeln werden ohne Zurücklegen fünf Kugeln nacheinander entnommen

Nein, denn da die Kugeln nicht zurückgelegt werden, verändert sich die Trefferwahrscheinlichkeit mit jedem Zug.

Wofür stehen bei einer Bernoulli-Kette beziehungsweise bei einer binomialverteilten Zufallsgröße die Buchstaben n , p n, p n , p und k k k ?

n n n : Länge der Bernoulli-Kette / Anzahl der Durchführungen des Bernoulli-Experiments

p p p : Trefferwahrscheinlichkeit, also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man bei einer einmaligen Durchführung des Bernoulli-Experiments das "gewünschte" Ergebnis erzielt. Sie muss zwischen den Durchläufen gleich bleiben.

k k k : Anzahl der "Treffer", die man betrachten möchte. Die Reihenfolge beziehungsweise Position innerhalb der Bernoulli-Kette muss egal sein, damit die Formel für die Binomialverteilung verwendet werden kann.

Gib für jede Situation an, was n , p n, p n , p und k k k ist.

Du kannst es ins Eingabefeld in der Form ( n ; p ; k ) (n;p;k) ( n ; p ; k ) eingeben.

(Beispiel für n = 30 , p = 0 , 2 n=30, p=0{,}2 n = 30 , p = 0 , 2 und k = 10 k=10 k = 10 wäre die Eingabe ( 30 ; 0 , 2 ; 10 ) (30;0{,}2;10) ( 30 ; 0 , 2 ; 10 ) )

Eine faire Münze wird 50 50 50 mal geworfen. Es soll genau 25 25 25 mal Zahl angezeigt werden.

Das Experiment wird 50 50 50 mal durchgeführt ( n = 50 n=50 n = 50 ).

Dabei soll genau 25 25 25 mal der "Treffer" Zahl auftauchen ( k = 25 k=25 k = 25 ).

Da es sich um eine faire Münze handelt, ist die Trefferwahrscheinlichkeit bei jedem Wurf p = 50   % p=50\ \% p = 50   %

80   % 80\ \% 80   % der Weltbevölkerung können ihre Zunge rollen. Es werden 500 500 500 Personen befragt und 300 300 300 sollen die Eigenschaft besitzen.

Die Stichprobe umfasst 500 500 500 Personen ( n = 500 n=500 n = 500 ).

300 300 300 Personen sollen das gewünschte Merkmal zeigen, sind also "Treffer" ( k = 300 k=300 k = 300 )

Da 80   % 80\ \% 80   % der Bevölkerung die Zunge rollen können, ist die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0 , 8 p=0{,}8 p = 0 , 8

Eine gezinkte Münze zeigt in 70   % 70\ \% 70   % der Fälle Kopf. Sie wird 20 20 20 mal geworfen. Es soll 7 7 7 mal Zahl angezeigt werden.

Die Münze wird 20 20 20 mal geworfen ( n = 20 n=20 n = 20 ).

Dabei kann entweder Zahl als Treffer festgelegt werden ( k = 7 k=7 k = 7 ), oder Kopf ( k = 13 k=13 k = 13 ).

Die Trefferwahrscheinlichkeit hängt davon ab, was als Treffer definiert wird. Ist Zahl als Treffer festgelegt, so ist die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0 , 3 p=0{,}3 p = 0 , 3 . Sonst für Kopf p = 0 , 7 p=0{,}7 p = 0 , 7 .

Der Text suggeriert, dass Zahl als Treffer bezeichnet werden soll, doch beide Ansätze liefern das gleiche Ergebnis, solange die richtige Wahrscheinlichkeit verwendet wird.

Annäherung an die Formel der Bernoulli-Kette

Aus einer Urne mit 5 5 5 roten und 6 6 6 blauen Kugeln wird dreimal mit Zurücklegen gezogen. Bestimme jeweils einen Term für die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse { ( b ; b ; r ) } , { ( b ; r ; b ) } \left\{(b;b;r)\right\},\left\{(b;r;b)\right\} { ( b ; b ; r ) } , { ( b ; r ; b ) } und { ( r ; b ; b ) } \left\{(r;b;b)\right\} { ( r ; b ; b ) } und vereinfache ihn zunächst, ohne den Termwert zu berechnen.

Erkläre deine Beobachtung, in dem du das Ereignis A = { ( b ; b ; r ) ; ( b ; r ; b ) ; ( r ; b ; b ) } A=\{(b;b;r);(b;r;b);(r;b;b)\} A = {( b ; b ; r ) ; ( b ; r ; b ) ; ( r ; b ; b )} mit Worten beschreibst und bestimme P ( A ) P(A) P ( A ) .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Urnenmodell

In der Urne sind, da die Kugeln jedes Mal wieder zurückgelegt werden, vor dem Ziehen immer 5 5 5 rote und 6 6 6 blaue Kugeln.

Werden rote Kugeln als "Treffer" bezeichnet, so ist die Trefferwahrscheinlichkeit p = 5 11 p=\frac{5}{11} p = 11 5 ​ und die Gegenwahrscheinlichkeit 1 − p = 6 11 1-p=\frac{6}{11} 1 − p = 11 6 ​ für eine blaue Kugel.

Multipliziere jeweils die Trefferwahrscheinlichkeit oder die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses, um die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse zu erhalten.

Die drei Wahrscheinlichkeiten lauten

P ( { b ; b ; r } ) = 6 11 ⋅ 6 11 ⋅ 5 11 = ( 6 11 ) 2 ⋅ 5 11 P\left(\left\{b;b;r\right\}\right)=\frac{6}{11}\cdot\frac{6}{11}\cdot\frac{5}{11}=\left(\frac{6}{11}\right)^2\cdot\frac{5}{11} P ( { b ; b ; r } ) = 11 6 ​ ⋅ 11 6 ​ ⋅ 11 5 ​ = ( 11 6 ​ ) 2 ⋅ 11 5 ​

P ( { b ; r ; b } ) = 6 11 ⋅ 5 11 ⋅ 6 11 = ( 6 11 ) 2 ⋅ 5 11 P\left(\left\{b;r;b\right\}\right)=\frac{6}{11}\cdot\frac{5}{11}\cdot\frac{6}{11}=\left(\frac{6}{11}\right)^2\cdot\frac{5}{11} P ( { b ; r ; b } ) = 11 6 ​ ⋅ 11 5 ​ ⋅ 11 6 ​ = ( 11 6 ​ ) 2 ⋅ 11 5 ​

P ( { r ; b ; b } ) = 5 11 ⋅ 6 11 ⋅ 6 11 = ( 6 11 ) 2 ⋅ 5 11 P\left(\left\{r;b;b\right\}\right)=\frac{5}{11}\cdot\frac{6}{11}\cdot\frac{6}{11}=\left(\frac{6}{11}\right)^2\cdot\frac{5}{11} P ( { r ; b ; b } ) = 11 5 ​ ⋅ 11 6 ​ ⋅ 11 6 ​ = ( 11 6 ​ ) 2 ⋅ 11 5 ​

Es ist also egal, an welcher Stelle die rote Kugel gezogen wird. Die Wahrscheinlichkeit, genau eine rote Kugel in drei Zügen zu ziehen, ist immer gleich. Es gibt aber drei Möglichkeiten, sie zu ziehen.

Das Ereignis A A A ist in Worten "Es wird genau eine rote Kugel gezogen (die Position der Kugel ist egal)".

Die Wahrscheinlichkeit ist P ( A ) = 3 ⋅ ( 6 11 ) 2 ⋅ 5 11 P\left(A\right)=3\cdot\left(\frac{6}{11}\right)^2\cdot\frac{5}{11} P ( A ) = 3 ⋅ ( 11 6 ​ ) 2 ⋅ 11 5 ​ , denn sie umfasst genau die drei oberen Ergebnisse.

Für komplizierte Beispiele kann man die Zahl 3 3 3 nicht so leicht ermitteln. Dafür benötigt man den Binomialkoeffizienten ( n k ) \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} ( n k ​ ) . Er gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, um aus einer Menge mit n n n Elementen zufällig k k k Elemente auszuwählen oder mit anderen Worten, wie viele Pfade im Baumdiagramm genau den einen Treffer enthalten.

Hier: P ( A ) = ( 3 1 ) ⋅ 5 11 ⋅ ( 6 11 ) 2 P\left(A\right)=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\cdot \frac {5}{11}\cdot\left(\frac 6{11}\right)^2 P ( A ) = ( 3 1 ​ ) ⋅ 11 5 ​ ⋅ ( 11 6 ​ ) 2

Befolge die 1. Pfadregel , um die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.

Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Bernoulli-Kette mit Länge n n n und einer Trefferwahrscheinlichkeit p p p genau k k k Treffer zu erzielen, kann bestimmt werden durch:

P ( "genau k Treffer" ) = B ( n ; p ; k ) = ( n k ) ⋅ p k ⋅ ( 1 − p ) n − k P(\text{"genau k Treffer"})=B(n;p;k)=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k} P ( "genau k Treffer" ) = B ( n ; p ; k ) = ( n k ​ ) ⋅ p k ⋅ ( 1 − p ) n − k

Erkläre die Bedeutung jedes Faktors im Produkt

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Bernoulli-Kette mit Länge n n n und Trefferwahrscheinlichkeit p p p genau k k k Treffer erzielt werden, kann mithilfe der Formel der Binomialverteilung berechnet oder im Tafelwerk der Stochastik nachgeschlagen werden.

Die Formel besteht aus:

Dem Binomialkoeffizienten ( n k ) \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} ( n k ​ ) , der die Anzahl der Möglichkeiten vorgibt, die k k k Treffer aus der Menge der n n n Versuche auszuwählen. Das ist auch die Anzahl der Pfade im Baumdiagramm, die k k k Treffer entlang ihres Pfads enthalten.

Die Teilwahrscheinlichkeit, k k k mal zu treffen, dargestellt durch die Trefferwahrscheinlichkeit p p p potenziert mit der Anzahl der Treffer k k k : p k p^k p k .

Die Teilwahrscheinlichkeit, sonst nicht zu treffen, dargestellt durch die Nichttrefferwahrscheinlichkeit ( 1 − p ) (1-p) ( 1 − p ) potenziert mit der Anzahl der Nichttreffer ( n − k ) (n-k) ( n − k ) : ( 1 − p ) n − k (1-p)^{n-k} ( 1 − p ) n − k .

Kritik, Lob, Wünsche oder Verbesserungsvorschläge? Nehmt Euch kurz Zeit, klickt hier und schreibt an [email protected] Deine Meinung ist uns wichtig!

Bernoulli-kette, hier findest du folgende inhalte, einstufige zufallsexperimente und deren wahrscheinlichkeiten.

Ein Zufallsexperiment ist ein grundsätzlich beliebig oft wiederholbarer "Versuch", welcher unter identischen Bedingungen zu 2 oder mehreren nicht vorhersagbaren Ergebnissen führt. Dabei ist das zeitlich jeweils nächste Ergebnis unabhängig von den zeitlich vorhergehenden Ergebnissen.

Ergebnismenge  \(\Omega\)

Ein Ergebnis ist der spezifische Ausgang von einem Zufallsexperiment. Die Ergebnismenge, auch Ergebnisraum genannt, ist die Menge aller möglichen Ergebnisse A i eines Zufallsexperiments, die grundsätzlich auftreten können.

\(\Omega = \left\{ {{A_1},{A_2},...,{A_n}} \right\}\)

• Ergebnis eines einmaligen Würfelwurfs: "2 Augen"
• Die Menge aller möglichen Ergebnisse - also der Ergebnisraum \(\Omega\) - beim Würfeln ist \(\Omega = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\)
• Die Menge aller möglichen Ergebnisse - also der Ergebnisraum \(\Omega\) - beim Wurf einer Münze ist \(\Omega = \left\{ {{\rm{Kopf;Zahl}}} \right\}\)
• Die Menge aller möglichen Ergebnisse - also der Ergebnisraum \(\Omega\) - beim Würfeln mit 2 Würfeln ist \(\Omega = \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {1;2} \right);...;\left( {1;6} \right);\left( {2;1} \right);\left( {2;2} \right);....\left( {6;6} \right)} \right\}\)

Ereignismenge   \(P\left( \Omega \right)\)

Ereignismengen, auch Ereignisräume genannt, sind Teil mengen der Ergebnismenge. 

\(P\left( \Omega \right) = \left\{ {A\left| {A \subseteq \Omega } \right.} \right\}\)

Beispiel Würfel:

• Ergebnismenge: \(\Omega = \left\{ {{1},{2},...,{6}} \right\}\)
• Ereignismenge "nur" die gerade Augenzahl: \(\Omega = \left\{ {{2},{4},{6}} \right\}\)

Elementarereignis

Das Elementarereignis A i ist eine Teilmenge der Ergebnismenge \(\Omega\) mit genau einem Element .

\({A_i} \in \Omega\)

Zur Veranschaulichung: Wirft man einen Würfel, so umfasst die Ergebnismenge \(\Omega = \left\{ {1,2,3,4,5,6} \right\}\) genau 6 Elementarereignisse : 1 Auge, 2 Augen, 3 Augen, 4 Augen, 5 Augen, 6 Augen

Gegenereignis

Das Gegenereignis A‘ tritt genau dann ein, wenn das Ereignis A nicht eintritt. Alle Elemente des Ereignisses A und seines Gegenereignisses A‘ ergeben zusammen die Ergebnismenge \(\Omega\) . \(A' + A = \Omega\)

Die Verneinung vom Ereignis E heißt Gegenereignis \(\overline E \) . Für ein Ereignis E und sein Gegenereignis \(\overline E \) gilt folgender Zusammenhang: \(P\left( E \right) = 1 - P\left( {\overline E } \right)\)

​​​ Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit ist ein Maß dafür, wie wahrscheinlich der Eintritt eines Ereignisses ist. Bei der wiederholten Durchführung eines Zufallsexperiments tritt eine Abfolge von einzelnen Elementarereignissen A i auf. Man kann zwar nicht vorhersagen genau welches Elementarereignis als nächstes auftritt, aber man kann eine Aussage darüber machen, wie häufig ein bestimmtes Elementarereignis im Vergleich zu den anderen Elementarereignissen auftritt. Die Wahrscheinlichkeit nach Laplace P(A)=P(X=x) leitet sich aus der Häufigkeit eines bestimmten Elementarereignisses, im Verhältniss zur Häufigkeit aller Elementarereignisse ab.

Gleichwahrscheinlichkeit

Eine Gleichwahrscheinlichkeit liegt vor, wenn jedes der n Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit 1/n hat.

Unbedingte Wahrscheinlichkeit P(A)

Die unbedingte Wahrscheinlichkeit gibt an, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für den Eintritt eines Ereignisses ist, unabhängig von irgend welchen Vorbedingungen.

Beispiel: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass morgen in Wien die Temperatur 30° C überschreitet? Antwort: Nieder, weil es nur ca. 30 derartige Hitzetage pro Jahr gibt.

Bedingte Wahrscheinlichkeit P(B│A)

Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|A) ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von B, unter der Voraussetzung (Bedingung), dass bereits das Ereignis A eingetreten ist, also bei von einander stochastisch abhängigen Ereignissen

\(P\left( {{B}\left| {{A}} \right.} \right) = \dfrac{{P\left( {{A} \cap {B}} \right)}}{{P\left( {{A}} \right)}}\)

Obige Formel ist lediglich die umformulierte Multiplikationsregeln für Wahrscheinlichkeiten ("Und Regel").

Beispiel: Heute wird in Wien eine Temperatur von 35° C gemessen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass morgen in Wien die Temperatur 30° C überschreitet? Antwort: Hoch, da sich die Klimalage nur alle paar Tage verändert.

Gegenwahrscheinlichkeit

Die Gegenwahrscheinlichkeit vom Ereignis A ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis A nicht eintritt. Oft ist es einfacher die Gegenwahrscheinlichkeit von einem Ereignis auszurechnen und daraus die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses selbst zurückzurechnen.

\(\eqalign{ & P\left( {A'} \right) = 1 - P\left( A \right) \cr & P\left( A \right) = 1 - P\left( {A'} \right) \cr}\)

Anmerkung zur Notation:

\(P\left( {A'} \right) = P\left( {\neg A} \right)\)

Bernoulli Experiment

Ein Bernoulli Experiment ist ein Zufallsexperiment, welches

• genau 2 mögliche Ergebnisse hat: Treffer / Niete.
• Die Wahrscheinlichkeit p für einen Treffer oder für eine Niete muss aber keinesfalls 50:50 bzw. 0,5 sein. Die Formel für die Laplace Wahrscheinlichkeit ("günstige" durch "mögliche")  gilt auch für Bernoulli Experimente, da diese ja nur ein Sonderfall vom Laplace Experiment sind.

Beispiel: gerade und ungerade Tage im Jänner: Jeder Tag muss entweder gerade oder ungerade sein, aber es gibt im Jänner 15 gerade aber 16 ungerade Tage.

\(\eqalign{ & P\left( {X = {\text{gerader Tag}}} \right) = \dfrac{{15}}{{31}} \cr & P\left( {X = {\text{ungerader Tag}}} \right) = \dfrac{{16}}{{31}} \cr} \)

Gegenwahrscheinlichkeiten in einem Bernoulli Experiment

Wenn in einem Bernoulli Experiment p die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer ist, dann ist 1-p die Wahrscheinlichkeit für eine Niete, man nennt dies die Gegenwahrscheinlichkeit.

Laplace Experiment

Ein Laplace Experiment ist ein Zufallsexperiment, welches n mögliche Ergebnisse hat, wobei die Wahrscheinlichkeit für jedes der n Ergebnisse gleich groß ist. Man spricht dann von der Laplace Wahrscheinlichkeit.

Beispiel für ein Laplace Experiment: Würfelwurf; Es gibt 6 mögliche Elementarereignisse, die die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. 1 Auge, 2 Augen, 3 Augen, 4 Augen, 5 Augen, 6 Augen

Laplace Wahrscheinlichkeit

Die Laplace Wahrscheinlichkeit P(E) gibt den relativen Anteil der „günstigen“ Versuchsausgänge zu den „möglichen“ Versuchsausgängen an. Sie ist also eine Maßzahl für die Chance, dass ein bestimmtes Ereignis E bei mehreren möglichen Ereignissen eintritt. Alle Elementarergebnisse / Ausgänge müssen die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit haben.

\(P\left( E \right) = \dfrac{{{\text{Anzahl der günstigen Fälle}}}}{{{\text{Anzahl der möglichen Fälle}}}}\)

wobei: \(0 \leqslant P\left( E \right) \leqslant 1{\text{ und }}P\left( 0 \right) = 0{\text{ sowie P}}\left( \Omega \right) = 1\)

Schon den nächsten Urlaub geplant? Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten! Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.

Mehrstufige Zufallsexperimente und deren Wahrscheinlichkeiten

Führt man ein Zufallsexperiment mehrfach hintereinander aus, so spricht man von einem mehrstufigen Zufallsexperiment. Einfache Beispiele dafür sind das mehrfache Werfen einer Münze oder das mehrfache Werfen eines Würfels.

Formel von Bernoulli für Bernoulli-Ketten

Wird ein Bernoulli-Experiment n mal durchgeführt, so spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge n. Die bernoullische Formel gibt die Wahrscheinlichkeit für k Treffer bei n Wiederholungen eines Bernoulli-Experiments - einer sogenannten Bernoulli-Kette - an. Dabei ist für jeden einzelnen der k Treffer, p die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer und (1-p) die Wahrscheinlichkeit für eine Niete. Die einzelnen Teilexperimente müssen von einander unabhängig sein. Jedes Einzelexperiment darf nur zwei mögliche Ausgänge haben.

\(P\left( {X = k} \right) = \left( \begin{gathered} n \\ k \\ \end{gathered} \right) \cdot {p^k} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{n - k}}\)

Beispiel: Würfel (→p=1/6=0,16667) wird 10 Mal geworfen (→n=10). Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit genau 3 Mal zwei Augen zu werfen (→k=3)

\(P\left( {K = 3} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10}\\ 3 \end{array}} \right) \cdot {\left( {\dfrac{1}{6}} \right)^3} \cdot {\left( {1 - \dfrac{1}{6}} \right)^{10 - 3}} \approx 0,155 \buildrel \wedge \over = 15,5\% \)

Baumdiagramme

Baumdiagramme unterstützen visuell bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit bei mehrstufigen Zufallsexperimenten. Ein Baumdiagramm besteht aus Knoten und Zweigen. Ein Pfad startet bei einem Knoten, verläuft über einen oder mehrere Zweige und endet in einem Knoten.

Zweigwahrscheinlichkeiten

• Neben jeden Zweig schreibt man die Wahrscheinlichkeit, mit der das vom Zweig repräsentierte Zufallsereignis eintritt. 
• Die Wahrscheinlichkeit aller Zweige, die von einem Konten weglaufen, summieren sich immer auf 1.

Pfadregeln bei der Lösung von Aufgaben mittels Baumdiagramm

• Produktregel : Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, welches durch einen Pfad dargestellt wird, ist gleich dem Produkt aller Einzelwahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades.
• Summenregel : Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, welches durch mehrere Pfade dargestellt wird, ist gleich der Summe aller zugehörigen Pfadwahrscheinlichkeiten

Illustration eines Baumdiagramms

Vieleck poly6 Vieleck poly6: Vieleck[F_1, G_1, 4] Vieleck poly6 Vieleck poly6: Vieleck[F_1, G_1, 4] Vieleck poly6 Vieleck poly6: Vieleck[F_1, G_1, 4] Strecke f Strecke f: Strecke [A, B] Strecke g Strecke g: Strecke [A, C] Strecke h Strecke h: Strecke [D, E] von Vieleck poly1 Strecke i Strecke i: Strecke [E, F] von Vieleck poly1 Strecke j Strecke j: Strecke [F, G] von Vieleck poly1 Strecke k Strecke k: Strecke [G, D] von Vieleck poly1 Strecke l Strecke l: Strecke [H, I] von Vieleck poly2 Strecke m Strecke m: Strecke [I, J] von Vieleck poly2 Strecke n Strecke n: Strecke [J, K] von Vieleck poly2 Strecke p Strecke p: Strecke [K, H] von Vieleck poly2 Strecke q Strecke q: Strecke [L, M] Strecke r Strecke r: Strecke [L, N] Strecke s Strecke s: Strecke [O, P] Strecke t Strecke t: Strecke [O, Q] Strecke a Strecke a: Strecke [R, S] von Vieleck poly3 Strecke b Strecke b: Strecke [S, T] von Vieleck poly3 Strecke c Strecke c: Strecke [T, U] von Vieleck poly3 Strecke d Strecke d: Strecke [U, R] von Vieleck poly3 Strecke e Strecke e: Strecke [V, W] von Vieleck poly4 Strecke f_1 Strecke f_1: Strecke [W, Z] von Vieleck poly4 Strecke g_1 Strecke g_1: Strecke [Z, A_1] von Vieleck poly4 Strecke h_1 Strecke h_1: Strecke [A_1, V] von Vieleck poly4 Strecke i_1 Strecke i_1: Strecke [B_1, C_1] von Vieleck poly5 Strecke j_1 Strecke j_1: Strecke [C_1, D_1] von Vieleck poly5 Strecke k_1 Strecke k_1: Strecke [D_1, E_1] von Vieleck poly5 Strecke l_1 Strecke l_1: Strecke [E_1, B_1] von Vieleck poly5 Strecke m_1 Strecke m_1: Strecke [F_1, G_1] von Vieleck poly6 Strecke n_1 Strecke n_1: Strecke [G_1, H_1] von Vieleck poly6 Strecke p_1 Strecke p_1: Strecke [H_1, I_1] von Vieleck poly6 Strecke q_1 Strecke q_1: Strecke [I_1, F_1] von Vieleck poly6 p_1 text1 = "p_1" p_1 text1 = "p_1" 1 - p_1 text2 = "1 - p_1" 1 - p_1 text2 = "1 - p_1" E_1 text3 = "E_1" E_1 text3 = "E_1" \bar{E_1} text4 = "\bar{E_1}" \bar{E_1} text4 = "\bar{E_1}" \bar{E_1} text4 = "\bar{E_1}" p_2 text5 = "p_2" p_2 text5 = "p_2" 1 - p_2 text6 = "1 - p_2" 1 - p_2 text6 = "1 - p_2" p_2 * text7 = "p_2 *" p_2 * text7 = "p_2 *" p_2 * text7 = "p_2 *" 1 - p_2 * text8 = "1 - p_2 *" 1 - p_2 * text8 = "1 - p_2 *" 1 - p_2 * text8 = "1 - p_2 *" E_2 text9 = "E_2" E_2 text9 = "E_2" \bar{E_2} text91 = "\bar{E_2}" \bar{E_2} text91 = "\bar{E_2}" \bar{E_2} text91 = "\bar{E_2}" E_2 text92 = "E_2" E_2 text92 = "E_2" \bar{E_2} text93 = "\bar{E_2}" \bar{E_2} text93 = "\bar{E_2}" \bar{E_2} text93 = "\bar{E_2}" Wurzelknoten Text1 = "Wurzelknoten" Zweig Text2 = "Zweig" Folgeentscheidung (disjunkteTeilmengen) Text3 = "Folgeentscheidung (disjunkteTeilmengen)" Folgeentscheidung (disjunkteTeilmengen) Text3 = "Folgeentscheidung (disjunkteTeilmengen)" Entscheidung Text4 = "Entscheidung" Zweig Text5 = "Zweig"

Produktregel für die Wahrscheinlichkeit von unabhängigen Ereignissen ("Und" Regel)

Die Produktregel besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, welches durch einen Pfad (mehrere Zweige in Serie) dargestellt wird (Pfadwahrscheinlichkeit), gleich ist dem Produkt aller Einzelwahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades. Mit anderen Worten: Sollten A und B unabhängige Ereignisse sein, dann gilt: Die Wahrscheinlichkeit, dass unabhängig voneinander das Ereignis A und auch das Ereignis B eintreten, ist gleich dem Produkt der beiden Einzelwahrscheinlichkeiten.

Das eine und das andere Ereignis treten ein: Schnittmenge :

\(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( {A \wedge B} \right) = P\left( {{\text{A und B}}} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)\)

Merksatz: "Bei unabhängigen Ereignissen ist die Wahrscheinlichkeit von A und B ist gleich der Wahrscheinlichkeit von A mal B"

Beispiel: Ziehen mit Zurücklegen

Produktregeln für die Wahrscheinlichkeit von beliebigen Ereignissen ("Und Regel")

Sollten A und B zwei nicht notwendiger Weise unabhängige Ereignisse sein, dann gilt: Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A und auch das Ereignis B eintreten, ist gleich der Eintrittswahrscheinlichkeit für A mal der Eintrittswahrscheinlichkeit für B, unter der Voraussetzung, dass bereits Ereignis A eingetreten ist.

\(P\left( {{A} \cap {B}} \right) = P\left( {{A}} \right) \cdot P\left( {{B}\left| {{A}} \right.} \right)\)

Beispiel: Ziehen ohne Zurücklegen

Summenregel für die Wahrscheinlichkeit von unabhängigen Ereignissen ("Oder" Regel)

Die Summenregel besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, welches durch mehrere parallele Pfade dargestellt wird, gleich ist der Summe aller zugehörigen Pfadwahrscheinlichkeiten. Mit anderen Worten: Sollten A und B unvereinbare / disjunkte / einander gegenseitig ausschließende Ereignisse sein, dann gilt wegen \(P\left( {{A} \cap {B}} \right) = 0\) vereinfachend: Die Wahrscheinlichkeit, dass entweder das eine oder das andere von 2 disjunkten Ereignissen eintritt, ist gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten.

Entweder das eine oder das andere Ereignisse tritt ein: Vereinigungsmenge

\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( {A \vee B} \right) = P\left( {{\text{A oder B}}} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\)

Nachfolgende Illustration veranschaulicht den Zusammenhang

Ellipse e Ellipse e: Ellipse mit Brennpunkten E, F durch G Ellipse e Ellipse e: Ellipse mit Brennpunkten E, F durch G Ellipse f Ellipse f: Ellipse mit Brennpunkten H, I durch J Ellipse f Ellipse f: Ellipse mit Brennpunkten H, I durch J Strecke a Strecke a: Strecke A, B Strecke b Strecke b: Strecke B, C Strecke c Strecke c: Strecke C, D Strecke d Strecke d: Strecke D, A P(A) Text1 = “P(A)” P(B) Text2 = “P(B)”

Summenregeln für Wahrscheinlichkeiten von beliebigen Ereignissen ("Oder Regel")

Sollten A1 und A2 zwei beliebige Ereignisse sein, dann gilt: Die Wahrscheinlichkeit, dass entweder das beliebige Ereignis A eintritt oder das beliebiges Ereignis B eintritt, ist gleich der Summe ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten, abzüglich der Wahrscheinlichkeit für das gemeinsame Eintreten beider Ereignisse.

\(P\left( {{A} \cup {B}} \right) = P\left( {{A}} \right) + P\left( {{B}} \right) - P\left( {{A} \cap {B}} \right) = P\left( {{A}} \right) + P\left( {{B}} \right) - P\left( {{A}} \right) \cdot P\left( {{B}} \right)\)

Für drei beliebige - also nicht notwendigerweise disjunkte - Ereignisse gilt: \(P\left( {A \cup B \cup C} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) + P\left( C \right) - P\left( {A \cap B} \right) - P\left( {A \cap C} \right) - P\left( {B \cap C} \right) + P\left( {A \cap B \cap C} \right)\)

Ellipse e Ellipse e: Ellipse mit Brennpunkten E, F durch G Ellipse e Ellipse e: Ellipse mit Brennpunkten E, F durch G Ellipse f Ellipse f: Ellipse mit Brennpunkten H, I durch J Ellipse f Ellipse f: Ellipse mit Brennpunkten H, I durch J Strecke a Strecke a: Strecke A, B Strecke b Strecke b: Strecke B, C Strecke c Strecke c: Strecke C, D Strecke d Strecke d: Strecke D, A P(A) Text1 = “P(A)” P(B) Text2 = “P(B)” P(A∩B) Text3 = “P(A∩B)”

Satz von Bayes - Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A

Der Satz von Bayes ermöglicht es die bedingte Wahrscheinlichkeit von \(P\left( {{A}\left| {{B}} \right.} \right)\) auszurechnen, wenn nur die umgekehrte bedingte Wahrscheinlichkeit \({P\left( {{B}\left| {{A}} \right.} \right)}\) und die beiden A-Priori-Wahrscheinlichkeiten \({P\left( {{A}} \right)}\) bzw. \({P\left( {{B}} \right)}\) bekannt sind und umgekehrt.

\(\eqalign{ & P\left( {A\left| B \right.} \right) = \dfrac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \cr & = \dfrac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B\left| A \right.} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \dfrac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B\left| A \right.} \right)}}{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B\left| A \right.} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B\left| {\overline A } \right.} \right)}} \cr} \)

Vierfeldtafel zur Bestimmung bedingter Wahrscheinlichkeiten

Eine Vierfeldtafel eignet sich zur Bestimmung der Zusammenhänge zweier Ereignisse A und B

• Zuerst erfolgt die Beschriftung vom Ereignis und dem zugehörigen Gegenereignis in der 1. Zeile und der 1. Spalte
• Dann erfolgt die Beschriftung der Wahrscheinlichkeiten vom Ereignis A bzw. B und der Wahrscheinlichkeit vom zugehörigen Gegenereignis in der 4. Zeile und in der 4. Spalte
• Die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse \(A\) und \({\overline A }\) bzw. \(B\) und \({\overline B }\) addieren sich jeweils auf 1, was wir im Feld rechts unten eintragen.
• In die eigentlichen 4 Felder der Vierfeldtafel trägt man letztlich die Wahrscheinlichkeiten der Schnittmengen ein.

• Die Wahrscheinlichkeiten in der 4. Zeile errechnet sich aus der Summe der beiden darüber stehenden Wahrscheinlichkeiten
• Die Wahrscheinlichkeiten in der 4. Spalte errechnet sich aus der Summe der beiden links stehenden Wahrscheinlichkeiten

Anstelle von Wahrscheinlichkeiten können in den Felder der Vierfeldtafel auch absoluten Häufigkeiten oder Prozentwerte stehen.

Abhängige bzw. unabhängige Ereignisse:

Zwei Ereignisse A bzw. B sind von einander abhängig, wenn das Eintreten vom Ereignis A das Eintreten vom Ereignis B beeinflusst. Unabhängige Ereignisse kann man einfacher berechnen als von einander abhängige Ereignisse.

Die Ereignisse A und B sind voneinander

• abhängig, wenn gilt:  \(P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) \ne P\left( {A \cap B} \right)\)
• unabhängig, wenn gilt:  \(P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) = P\left( {A \cap B} \right)\)

In obiger Vierfeldtafel können wir die 3 Werte wie folgt ablesen:

• P(A) lesen wir in der 1. Zeile in der letzten Zeile ab
• P(B) lesen wir in der 1. Spalte in der letzten Zeile ab
• P(A ∩ B) lesen wir in der 1. Zeile in der 1. Spalte ab

Visualisierung im Baumdiagramm

Vieleck poly6 Vieleck poly6: Vieleck(F_1, G_1, 4) Vieleck poly6 Vieleck poly6: Vieleck(F_1, G_1, 4) Vieleck poly6 Vieleck poly6: Vieleck(F_1, G_1, 4) Strecke f Strecke f: Strecke A, B Strecke g Strecke g: Strecke A, C Strecke h Strecke h: Strecke D, E Strecke i Strecke i: Strecke E, F Strecke j Strecke j: Strecke F, G Strecke k Strecke k: Strecke G, D Strecke l Strecke l: Strecke H, I Strecke m Strecke m: Strecke I, J Strecke n Strecke n: Strecke J, K Strecke p Strecke p: Strecke K, H Strecke q Strecke q: Strecke L, M Strecke r Strecke r: Strecke L, N Strecke s Strecke s: Strecke O, P Strecke t Strecke t: Strecke O, Q Strecke a Strecke a: Strecke R, S Strecke b Strecke b: Strecke S, T Strecke c Strecke c: Strecke T, U Strecke d Strecke d: Strecke U, R Strecke e Strecke e: Strecke V, W Strecke f_1 Strecke f_1: Strecke W, Z Strecke g_1 Strecke g_1: Strecke Z, A_1 Strecke h_1 Strecke h_1: Strecke A_1, V Strecke i_1 Strecke i_1: Strecke B_1, C_1 Strecke j_1 Strecke j_1: Strecke C_1, D_1 Strecke k_1 Strecke k_1: Strecke D_1, E_1 Strecke l_1 Strecke l_1: Strecke E_1, B_1 Strecke m_1 Strecke m_1: Strecke F_1, G_1 Strecke n_1 Strecke n_1: Strecke G_1, H_1 Strecke p_1 Strecke p_1: Strecke H_1, I_1 Strecke q_1 Strecke q_1: Strecke I_1, F_1 P(B) text1 = “P(B)” P(B) text1 = “P(B)” P(B) text1 = “P(B)” P(B) text1 = “P(B)” P(\bar{B}) text2 = “P(\bar{B})” P(\bar{B}) text2 = “P(\bar{B})” P(\bar{B}) text2 = “P(\bar{B})” P(\bar{B}) text2 = “P(\bar{B})” P(\bar{B}) text2 = “P(\bar{B})” B text3 = “B” \bar{B} text4 = “\bar{B}” \bar{B} text4 = “\bar{B}” P\left( {{A}\left| {{B}} \right.} \right) text5 = “P\left( {{A}\left| {{B}} \right.} \right)” P\left( {{A}\left| {{B}} \right.} \right) text5 = “P\left( {{A}\left| {{B}} \right.} \right)” P\left( {{A}\left| {{B}} \right.} \right) text5 = “P\left( {{A}\left| {{B}} \right.} \right)” P\left( {{A}\left| {{B}} \right.} \right) text5 = “P\left( {{A}\left| {{B}} \right.} \right)” P\left( {{A}\left| {{B}} \right.} \right) text5 = “P\left( {{A}\left| {{B}} \right.} \right)” P\left( {{A}\left| {{B}} \right.} \right) text5 = “P\left( {{A}\left| {{B}} \right.} \right)” P\left( {\bar{A}\left| {{B}} \right.} \right) text6 = “P\left( {\bar{A}\left| {{B}} \right.} \right)” P\left( {\bar{A}\left| {{B}} \right.} \right) text6 = “P\left( {\bar{A}\left| {{B}} \right.} \right)” P\left( {\bar{A}\left| {{B}} \right.} \right) text6 = “P\left( {\bar{A}\left| {{B}} \right.} \right)” P\left( {\bar{A}\left| {{B}} \right.} \right) text6 = “P\left( {\bar{A}\left| {{B}} \right.} \right)” P\left( {\bar{A}\left| {{B}} \right.} \right) text6 = “P\left( {\bar{A}\left| {{B}} \right.} \right)” P\left( {\bar{A}\left| {{B}} \right.} \right) text6 = “P\left( {\bar{A}\left| {{B}} \right.} \right)” P\left( {\bar{A}\left| {{B}} \right.} \right) text6 = “P\left( {\bar{A}\left| {{B}} \right.} \right)” P\left( {{A}\left| {\bar{B}} \right.} \right) text7 = “P\left( {{A}\left| {\bar{B}} \right.} \right)” P\left( {{A}\left| {\bar{B}} \right.} \right) text7 = “P\left( {{A}\left| {\bar{B}} \right.} \right)” P\left( {{A}\left| {\bar{B}} \right.} \right) text7 = “P\left( {{A}\left| {\bar{B}} \right.} \right)” P\left( {{A}\left| {\bar{B}} \right.} \right) text7 = “P\left( {{A}\left| {\bar{B}} \right.} \right)” P\left( {{A}\left| {\bar{B}} \right.} \right) text7 = “P\left( {{A}\left| {\bar{B}} \right.} \right)” P\left( {{A}\left| {\bar{B}} \right.} \right) text7 = “P\left( {{A}\left| {\bar{B}} \right.} \right)” P\left( {{A}\left| {\bar{B}} \right.} \right) text7 = “P\left( {{A}\left| {\bar{B}} \right.} \right)” P\left( {\bar{A}\left| {\bar{B}} \right.} \right) text8 = “P\left( {\bar{A}\left| {\bar{B}} \right.} \right)” P\left( {\bar{A}\left| {\bar{B}} \right.} \right) text8 = “P\left( {\bar{A}\left| {\bar{B}} \right.} \right)” P\left( {\bar{A}\left| {\bar{B}} \right.} \right) text8 = “P\left( {\bar{A}\left| {\bar{B}} \right.} \right)” P\left( {\bar{A}\left| {\bar{B}} \right.} \right) text8 = “P\left( {\bar{A}\left| {\bar{B}} \right.} \right)” P\left( {\bar{A}\left| {\bar{B}} \right.} \right) text8 = “P\left( {\bar{A}\left| {\bar{B}} \right.} \right)” P\left( {\bar{A}\left| {\bar{B}} \right.} \right) text8 = “P\left( {\bar{A}\left| {\bar{B}} \right.} \right)” P\left( {\bar{A}\left| {\bar{B}} \right.} \right) text8 = “P\left( {\bar{A}\left| {\bar{B}} \right.} \right)” P\left( {\bar{A}\left| {\bar{B}} \right.} \right) text8 = “P\left( {\bar{A}\left| {\bar{B}} \right.} \right)” A text9 = “A” \bar{A} text91 = “\bar{A}” \bar{A} text91 = “\bar{A}” A text92 = “A” \bar{A} text93 = “\bar{A}” \bar{A} text93 = “\bar{A}” Wurzelknoten Text1 = “Wurzelknoten” {P\left( {A \cap B} \right)} Text6 = “{P\left( {A \cap B} \right)}” {P\left( {A \cap B} \right)} Text6 = “{P\left( {A \cap B} \right)}” {P\left( {A \cap B} \right)} Text6 = “{P\left( {A \cap B} \right)}” {P\left( {A \cap B} \right)} Text6 = “{P\left( {A \cap B} \right)}” {P\left( {A \cap B} \right)} Text6 = “{P\left( {A \cap B} \right)}” {P\left( {A \cap B} \right)} Text6 = “{P\left( {A \cap B} \right)}” {P\left( {\overline A \cap B} \right)} Text7 = “{P\left( {\overline A \cap B} \right)}” {P\left( {\overline A \cap B} \right)} Text7 = “{P\left( {\overline A \cap B} \right)}” {P\left( {\overline A \cap B} \right)} Text7 = “{P\left( {\overline A \cap B} \right)}” {P\left( {\overline A \cap B} \right)} Text7 = “{P\left( {\overline A \cap B} \right)}” {P\left( {\overline A \cap B} \right)} Text7 = “{P\left( {\overline A \cap B} \right)}” {P\left( {\overline A \cap B} \right)} Text7 = “{P\left( {\overline A \cap B} \right)}” {P\left( {\overline A \cap B} \right)} Text7 = “{P\left( {\overline A \cap B} \right)}” {P\left( {A \cap \overline B } \right)} Text8 = “{P\left( {A \cap \overline B } \right)}” {P\left( {A \cap \overline B } \right)} Text8 = “{P\left( {A \cap \overline B } \right)}” {P\left( {A \cap \overline B } \right)} Text8 = “{P\left( {A \cap \overline B } \right)}” {P\left( {A \cap \overline B } \right)} Text8 = “{P\left( {A \cap \overline B } \right)}” {P\left( {A \cap \overline B } \right)} Text8 = “{P\left( {A \cap \overline B } \right)}” {P\left( {A \cap \overline B } \right)} Text8 = “{P\left( {A \cap \overline B } \right)}” {P\left( {A \cap \overline B } \right)} Text8 = “{P\left( {A \cap \overline B } \right)}” {P\left( {\overline A \cap \overline B } \right)} Text9 = “{P\left( {\overline A \cap \overline B } \right)}” {P\left( {\overline A \cap \overline B } \right)} Text9 = “{P\left( {\overline A \cap \overline B } \right)}” {P\left( {\overline A \cap \overline B } \right)} Text9 = “{P\left( {\overline A \cap \overline B } \right)}” {P\left( {\overline A \cap \overline B } \right)} Text9 = “{P\left( {\overline A \cap \overline B } \right)}” {P\left( {\overline A \cap \overline B } \right)} Text9 = “{P\left( {\overline A \cap \overline B } \right)}” {P\left( {\overline A \cap \overline B } \right)} Text9 = “{P\left( {\overline A \cap \overline B } \right)}” {P\left( {\overline A \cap \overline B } \right)} Text9 = “{P\left( {\overline A \cap \overline B } \right)}” {P\left( {\overline A \cap \overline B } \right)} Text9 = “{P\left( {\overline A \cap \overline B } \right)}”

Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit

Der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit ermöglicht es die Einzelwahrscheinlichkeiten aus den bedingten Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.

\(\eqalign{ & P\left( A \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {P\left( {{B_i}} \right) \cdot P\left( {A\left| {{B_i}} \right.} \right)} \cr & {\text{mit }}{{\text{B}}_1} \cup {B_2} \cup ... \cup {B_n} = \Omega \cr} \)

Beispiel: n=2:

\(P\left( A \right) = P\left( B \right) \cdot P\left( {A\left| B \right.} \right) + P\left( {\overline B } \right) \cdot P\left( {A\left| {\overline B } \right.} \right)\)

Aufgabe 6009

Abitur 2015 gymnasium bayern - prüfungsteil a - stochastik​.

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Bernoullikette

Bei der Wintersportart Biathlon wird bei jeder Schießeinlage auf fünf Scheiben geschossen. Ein Biathlet tritt bei einem Einzelrennen zu einer Schießeinlage an, bei der er auf jede Scheibe einen Schuss abgibt. Diese Schießeinlage wird modellhaft durch eine Bernoullikette mit der Länge 5 und der Trefferwahrscheinlichkeit p beschrieben.

1. Teilaufgabe a.1) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Geben Sie für die folgenden Ereignisse A und B jeweils einen Term an, der die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses in Abhängigkeit von p beschreibt.

• Aussage A: „Der Biathlet trifft bei genau vier Schüssen.“
• Aussage B: „Der Biathlet trifft nur bei den ersten beiden Schüssen.“

2. Teilaufgabe a.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Erläutern Sie anhand eines Beispiels, dass die modellhafte Beschreibung der Schießeinlage durch eine Bernoullikette unter Umständen der Realität nicht gerecht wird.

Bernoulli-Kette

• n = Länge der Bernoulli-Kette = Anzahl Einzelexperimente
• p = Die Erfolgwahrscheinlichkeit für genau einen Treffer für n=1
• k = Anzahl der Treffer innerhalb der Kette (hier: wie oft Kopf)
• P = Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer

Formeln zur Bernoulli-Kette

• Die folgenden Formeln sind zentral für das gesamte Thema:
• P(X=k) = [n über k] · [p hoch k] · [(1-p) hoch (n-k)]
• Standardabweichung Sigma = Wurzel [n·p·(1-p)]
• Varianz sigma-quadrat = n·p·(1-p)
• Erwartungswert mü = n·p
• P(X=k) = Wahrscheinlichkeit für k Treffer bei n Wiederholungen
• n über k = ist ein eigener Rechenausdruck, der Binomialkoeffizient ↗
• p = Wahrscheinlichkeit für Treffer bei einem Versuch
• n = Länge der Kette, Anzahl der Wiederholungen
• k = Anzahl der Treffer

Schreibweisen

Was ist eine binomialverteilung.

• Man kann für alle beliebigen k-Werte die Wahrscheinlichkeit ausrechnen.
• Eine Darstellung der Wahrscheinlichkeiten für alle k-Wert ist dann ...
• eine sogenannte Binomialverteilung ↗

Was ist die Normalverteilung?

Die erderwärmung als beispiel.

• Bernoulli-Kette erkennen => qck ↗
• Bernoulli-Kette berechnen genaue Trefferzahl => qck ↗
• Bernoulli-Kette berechnen [gemischt] => qck ↗