unterschied laplace experiment und zufallsexperiment

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• Laplace Experiment

In der Welt der Mathematik ist das Laplace-Experiment ein zentraler Aspekt der Wahrscheinlichkeitsrechnung . Die Einführung in das Laplace Experiment bietet eine detaillierte Erklärung für das Verständnis von Ereignissen und Wahrscheinlichkeiten. Hier erhältst du eine präzise Definition, die Unterschiede zwischen Laplace und Nicht-Laplace Experimenten sowie konkrete Beispiele. Weiterführend gibt es Informationen zur Berechnung von Ereignissen im Laplace Experiment, die Anwendung der Formel und wie man ein solches Experiment mit Hilfe von Baumdiagrammen darstellt. Schließlich werden alle Merkmale eines Laplace Experiments im Überblick dargestellt. Ein wissensreicher und informativer Start in die Welt der empirischen Wahrscheinlichkeit .

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Wie berechnest du die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis, bei dem mehrere Ergebnisse gültig sind, in einem Laplace-Experiment?

Was würde die Wahrscheinlichkeit für die Aufgabe, eine gerade Zahl oder eine 5 bei einem Würfelwurf zu bekommen, sein?

Was ist ein Baumdiagramm in Bezug auf ein Laplace Experiment?

Was ist ein Nicht-Laplace Experiment?

Was sind die Merkmale eines Laplace Experiments?

Wie viele Endpunkte hat ein Baumdiagramm im Fall von zwei Würfen zweier Würfel?

Was ist ein Laplace Experiment?

Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem Laplace Experiment?

Nenne ein Beispiel für ein Laplace Experiment und ein Nicht-Laplace Experiment.

Was steht "P(E)" in der Formel P(E) = 1/n für?

Wie berechnest du die Wahrscheinlichkeit eines spezifischen Ereignisses in einem Laplace-Experiment?

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Einführung in das Laplace Experiment

Was ist ein laplace experiment: definition.

Ein Laplace Experiment ist ein zufälliges Experiment, bei dem alle möglichen Ausgänge gleich wahrscheinlich sind. Das bedeutet, dass jedes Ereignis die gleiche Chance hat, ein Ergebnis des Experiments zu sein. Ein klassisches Beispiel für ein Laplace Experiment ist der Wurf eines fairen Würfels. Jeder der sechs möglichen Ausgänge (1, 2, 3, 4, 5, 6) hat die gleiche Wahrscheinlichkeit .

Wenn du beispielsweise einen fairen Würfel wirfst, beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine "6" zu würfeln, \( P(E) = \frac{1}{6} \), da es sechs mögliche Ergebnisse gibt, und jedes Ergebnis ist gleich wahrscheinlich.

Unterschied zwischen Laplace und Nicht-Laplace Experiment

Ein Nicht-Laplace Experiment ist ein zufälliges Experiment, bei dem die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen möglichen Ereignisse nicht gleich sind. Hier variiert die Wahrscheinlichkeit der verschiedenen möglichen Ergebnisse.

Beispiele für Laplace Experimente und Nicht-Laplace Experimente

Nehmen wir das Beispiel der Auswahl einer Person aus einer Gruppe. Hierbei spricht man von einem Nicht-Laplace Experiment, weil das Geschlecht, das Alter oder andere Faktoren die Auswahl beeinflussen können und daher nicht alle Personen die gleiche Auswahlwahrscheinlichkeit haben.

Das Verständnis des Unterschieds zwischen Laplace und Nicht-Laplace Experimenten ist essenziell, wenn du dich mit Wahrscheinlichkeiten beschäftigst. Es hilft dabei, realistische Annahmen zu treffen und statistische Modelle auf reale Situationen anzuwenden.

Berechnung des Laplace Experiments

Anwendung der formel im laplace experiment.

Die Formel bedeutet also: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem Laplace Experiment ist gleich dem Kehrwert der Anzahl aller möglichen Ergebnisse.

Wenn du beispielsweise eine Spielkarte aus einem gemischten Kartenspiel mit 52 Karten ziehst, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um einen König handelt, \( P(E) = \frac{1}{13} \). Denn das Deck hat vier Könige und 52 mögliche Karten, die gezogen werden können.

Praktische Laplace Experiment Aufgaben und Lösungen

• Für Aufgabe 1: Ein Kartenspiel enthält 52 Karten, von denen 13 Herzkarten sind. Also beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Ziehung ein Herz ist, \( P(E) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4} \).
• Für Aufgabe 2: Ein Würfel hat sechs Seiten, und zwei davon sind 2 und 4. Also beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine 2 oder 4 zu würfeln, \( P(E) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \).

Theorie und Praxis gehen Hand in Hand. Indem du Beispielaufgaben löst, vertiefst du dein Verständnis für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit in einem Laplace Experiment.

Berechnung von Ereignissen im Laplace Experiment

Wenn mehrere Ergebnisse für ein Ereignis gültig sind, addiere die Wahrscheinlichkeiten dieser Ergebnisse. Zum Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl beim Würfeln zu bekommen, ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten, eine 2, 4 oder 6 zu würfeln.

Für eine Aufgabe, in der wir die Wahrscheinlichkeit berechnen sollen, eine gerade Zahl oder eine 5 zu würfeln, addieren wir die Wahrscheinlichkeiten des Ereignisses "gerade Zahl würfeln" und des Ereignisses "5 würfeln". Diese Berechnung würde folgendermaßen aussehen: \( P(E) = P(\text{2 oder 4 oder 6}) + P(\text{5}) = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \).

Darstellung des Laplace Experiments

Einsatz des baumdiagramms im laplace experiment.

Ein Baumdiagramm ist ein grafisches Werkzeug, das verwendet wird, um alle möglichen Ergebnisse eines Experiments zu zeigen. Dabei repräsentiert jeder Ast des Baums eine mögliche Entscheidung oder ein mögliches Ergebnis.

Angenommen, du würdest eine faire Münze zweimal hintereinander werfen. Du würdest mit einem Ausgangspunkt beginnen und von dort aus zwei Linien zeichnen, eine für "Kopf" und eine für "Zahl". Von jedem dieser Punkte aus würdest du erneut zwei Linien zeichnen, wieder jeweils eine für "Kopf" und "Zahl". So endest du mit vier Endpunkten, die für die vier möglichen Ergebnisse des Experiments stehen: Kopf-Kopf, Kopf-Zahl, Zahl-Kopf und Zahl-Zahl. An jeder Linie würde dann noch die jeweilige Wahrscheinlichkeit stehen, also im Falle unserer fairen Münze immer \( \frac{1}{2} \) für jeden Zweig.

Laplace Experiment Beispiele mit Baumdiagrammen

Die Anzahl der Endpunkte in einem Baumdiagramm für ein Laplace Experiment entspricht der Anzahl der möglichen Ausgänge des Experiments. Sie gibt also die Anzahl der Ereignisse im Ereignisraum an.

Merkmale eines Laplace Experiments: Ein Überblick

Wenn du eine faire Münze wirfst, sind diese Eigenschaften alle sichtbar. Die zwei möglichen Ergebnisse (Kopf oder Zahl) sind gleich wahrscheinlich, deine Wahl ist zufällig und unabhängig von vorherigen oder nachfolgenden Würfen und es gibt eine begrenzte Anzahl an möglichen Ausgängen (nämlich zwei).

Ein tieferes Verständnis der Merkmale eines Laplace Experiments hilft dir, die Konzepte der Wahrscheinlichkeitsrechnung besser zu begreifen und korrekt anzuwenden.

Laplace Experiment - Das Wichtigste

• Laplace Experiment: zufälliges Experiment, bei dem alle möglichen Ausgänge gleich wahrscheinlich sind
• Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem Laplace Experiment: P(E) = 1/n
• Unterschied Laplace zu Nicht-Laplace Experiment: Bei einem Nicht-Laplace Experiment sind nicht alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich
• Beispiele: Wurf eines fairen Würfels (Laplace), Wurf eines gezinkten Würfels (Nicht-Laplace)
• Berechnung von Ereignissen: Bei mehreren gültigen Ergebnissen die Wahrscheinlichkeiten dieser addieren
• Baumdiagramm: Visualisierung aller potenziellen Ergebnisse und ihrer Wahrscheinlichkeiten
• Merkmale eines Laplace Experiments: Gleichwahrscheinlichkeit, Zufälligkeit, Unabhängigkeit, begrenzte Anzahl an Ausgängen

Karteikarten in Laplace Experiment 12

Du addierst die Wahrscheinlichkeiten dieser Ergebnisse, indem du jeweils die Formel P(E) = 1/n anwendest.

Die Wahrscheinlichkeit beträgt 2/3, weil du die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse "gerade Zahl würfeln" und "5 würfeln" addierst.

Ein Baumdiagramm ist ein Diagramm, das den Verlauf von Experimenten zeigt, bei denen mehrere Ereignisse aufeinanderfolgen oder gleichzeitig auftreten können. Jeder Zweig des Diagramms entspricht einem möglichen Ergebnis. Dies erlaubt es, eine klare visuelle Darstellung aller potenziellen Ergebnisse und ihrer jeweiligen Wahrscheinlichkeiten zu liefern.

Ein Nicht-Laplace Experiment ist ein zufälliges Experiment, bei dem die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen möglichen Ereignisse nicht gleich sind, und die Wahrscheinlichkeit der verschiedenen Ergebnisse variiert.

In einem Laplace Experiment gibt es Gleichwahrscheinlichkeit (jedes Ereignis hat die gleiche Wahrscheinlichkeit), Zufälligkeit (das Ergebnis ist zufällig und kann nicht im Voraus bestimmt werden), Unabhängigkeit (die einzelnen Ereignisse sind unabhängig voneinander) und eine begrenzte Anzahl an Ausgängen.

Ein Baumdiagramm für zwei Würfe zweier Würfel hätte 36 Endpunkte, da es 36 Möglichkeiten gibt, zwei Zahlen zu würfeln.

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Laplace Experiment

„Lasst uns eine Münze werfen.“ Hättet ihr vielleicht nicht gedacht, dass man die Wahrscheinlichkeit berechnen kann, ob im nächsten Moment Zahl oder Kopf erscheint? Dann solltet ihr unbedingt einen Blick auf das Laplace Experiment werfen.

Was ist die Laplace Regel

• Der französische Mathmatiker Pierre-Simon Laplace (1749 – 1827) machte Entdeckungen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, die in der modernen Mathematik heute unverzichtbar sind. Er hat herausgefunden, dass bei manchen Zufallsexperimenten alle Ergebnisse gleichwahrscheinlich sind. Bei einem Münzwurf ist es zum Beispiel gleichwahrscheinlich, auf welcher Seite die Münze landet – Kopf oder Zahl. Zufallsexperimente wie diese nennt man daher nach dem französischen Mathematiker Laplace-Zufallsexperimente

Laplace Wahrscheinlichkeit berechnen

Vorgehensweise

• Anzahl aller überhaupt möglichen Elementarereignisse berechnen
•  Anzahl der Elementarereignisse berechnen, bei denen E eintritt
• Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnen

Formel Laplace Experiment

Einführung in das Laplace Experiment

Natürlich gehen wir davon aus, dass in Wirklichkeit die Karten gezinkt und Münzen und Würfel manipuliert sein können. Dennoch brauchen wir für die Berechnung und den Versuch eine exaktere Form der Wirklichkeit.

Einen Laplace Versuch gibt es nur in der Theorie. Wir betrachten das Münzbeispiel.

Wenn Du eine reale Münze wirfst, kann sie auf die eine oder andere Seite fallen. Da aber eine Münze mechanisch hergestellt ist, kann sie Unregelmäßigkeiten aufweisen, die dazu führen, dass sie öfter auf die eine Seite fällt als auf die andere. Außerdem kann eine Münze auch in sehr seltenen Fällen auf der Kante stehenbleiben.

Laplace hat sich für seine Wahrscheinlichkeitsrechnung eine Münze vorgestellt, die wirklich genau zu 50% auf der einen oder anderen Seite zu liegen kommt. Außerdem fällt die Laplace Münze nie auf die Kante. Es handelt sich also um das theoretische Idealbild einer Münze.

Dementsprechend gibt es dann auch andere Lapalace-Zufallsgeräte (z.B. Würfel).

Wird ein Zufallsexperiment mit einer endlichen Ergebnismenge E hinreichend oft wiederholt und zeigt sich dabei, daß keines der Elementarereignisse gegenüber einem anderen bevorzugt auftritt, so werden alle Ereignisse stets näherungsweise gleich häufig auftreten und wir sprechen von einem Laplace-Experiment

Wann die Laplace-Formel nicht gilt

Beim Münz- und Würfelwurf funktioniert die Anwendung der Laplace-Formel prima. Bei vielen anderen Zufallsexperimenten allerdings nicht. Sie kann nur dann angewendet werden, wenn alle Elementarereignisse die selbe Eintrittswahrscheinlichkeit haben. Bei der Münze und beim Würfel ist das gegeben: Per Zufall erscheint eine der Seiten und keine hat eine höhere Wahrscheinlichkeit als irgendeine andere Seite. Bereits bei einem gezinkten Würfel, der z. B. in 50% aller Fälle eine 6 ergibt und in 50% aller Fälle eine Augenzahl zwischen 1 und 5 versagt die Laplace-Formel.

Wieso kann die Formel nun nicht auf solche Zufallsexperimente angewendet werden?

Das liegt daran, dass in der Formel nur die Anzahlen eine Rolle spielen: Die Anzahl aller gesuchten Elementarereignisse wird durch die Anzahl aller möglichen Elementarereignisse geteilt. Verwendet man nur die Anzahlswerte, dann setzt man voraus, dass die Eintrittswahrscheinlichkeit jedes einzelnen Elementarereignisses gleich ist — andernfalls müssten auch die Eintrittswahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse in der Formel auftauchen. ⇒ Die Laplace-Formel darf nur dann verwendet werden, wenn jedes Elementarereignis die selbe Eintrittswahrscheinlichkeit hat (siehe z. B. Würfel oder Münzwurf)

Bei den folgenden Experimenten und Ereignissen handelt es sich um das Laplace Experiment:

• Münze werfen
• Karte ziehen
• Glücksrad drehen
• Gameshow Prinzip – Tür, Box oder Durchgang wählen

Ω = {1, 2, 3}

Beim Drehen des Glücksrades kannst du als Ergebnis also entweder die 1, die 2 oder die 3 erhalten.

Da die Flächen der jeweiligen Zahlen gleich groß sind, besitzt jedes Ergebnis die gleiche Wahrscheinlichkeit beim Drehen angezeigt zu werden.

Kein Laplace Experiment

Auch bei diesem Glücksrad ergibt sich beim Drehen wieder die Ergebnismenge:

Ω = {1, 2, 3}.

Da die Fläche der Zahl 3 jedoch größer ist, als die Flächen der Zahlen 1 und 2, besitzen die drei Zahlen nicht mehr die gleiche Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit von Zahl 3 ist höher als die der Zahlen 1 und 2.

Wir werfen einen sechsseitigen Würfel und möchten verschiedene Wahrscheinlichkeiten bei dem Versuch berechnen:

• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, die Zahl 3 zu Würfeln?
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, entweder eine 1 oder 4 zu Würfeln

Wir wissen, dass der Würfel sechs gleiche Seiten hat. Somit können als Ergebnis beim Würfeln die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 geworfen werden. Die Anzahl der möglichen Ergebnisse beträgt somit „6“. Kommen wir nun zu den drei Teilaufgaben:

• P({3}) = 1 : 6 = 0,1666…
• P({1, 4}) = 2 : 6 = 0,33333…

Historische Bemerkungen

Statistik : „Ich würfle n mal und berechne….“ Verfahren, um empirische Daten zu gewinnen, darzustellen, zu verarbeiten, zu analysieren, ..

Wahrscheinlichkeitstheorie : „Ich sage für die Zukunft voraus….“ Bestimmung eines Maßes für den Grad der Möglichkeit des Eintreffens noch unverwirklichter Ereignisse.

Stochastik : „Mathematik des Zufalls“, Sammelbegriff für die Gebiete Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie

Die häufigsten Fehler beim LaPlace Experiment

Haben wir es also tatsächlich mit einem LaPlace Experiment zu tun, können alle Ergebnisse mit der gleichen Wahrscheinlichkeit folgen. Dabei spielt uns vor allen Dingen die menschliche Intuition ein Schnippchen. Wirfst du zum Beispiel eine Münze, entspricht die Menge der Ergebnisse Omega: KK, KZ, ZK, ZZ. Diese Ereignisse besitzen die gleiche Wahrscheinlichkeit.

Ist einem Spieler die Reihenfolge herzlich egal, verändert sich auch die Menge der Ergebnisse zu: KK KZ ZZ – das Ergebnis KZ trifft mit doppelter Wahrscheinlichkeit zu? Werfen wir also eine Münze 2 Mal, können wir dies noch recht schnell erkennen. Bei anderen Experimenten ist das gar nicht mehr so übersichtlich.

Vollkommen durcheinander gerät unsere Logik, wenn eine Familie mit zwei Kindern in das Münzexperiment einsteigt und damit beginnt, jeweils die Münzen zu werfen. Klar, es steht 50 zu 50, ob nun das erste oder zweite Kind beginnt die Münze zu werfen. Dabei ist aber die Wahrscheinlichkeit für Mädchen und Junge doppelt so hoch zu berechnen.

Aus diesem Grund solltest du von Anfang an genauestens nachdenken, ob die Ergebnisse mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten. Bei berechtigten Zweifeln kann ein Baumdiagramm weiterhelfen.

Fazit zum LaPlace Experiment

Im Prinzip müssen wir davon ausgehen, dass es in der Realität eigentlich keines der LaPlace Experimente gibt, da die Wirklichkeit immer von der Theorie abweicht. Wir haben es hier mit reinen Zufallsexperimenten zu tun, bei denen alle Ergebnisse mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten. So ist davon auszugehen, dass es sich bei der Münze und dem Würfel, um den Willen einer Person im Raum und um ein  LaPlace Experiment handelt.

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Laplace regel, erwartungswert, bedingte wahrscheinlichkeit.

Laplace Experiment: Regel, Beispiele, Aufgaben

Laplace experiment - definition, beispiele für laplace experimente, was sind keine laplace-aufgaben.

In diesem Lerntext erklären wir dir alles zum Thema Laplace-Experimente , eine Art von Zufallsexperimenten, die du aus deinem Mathematikunterricht schon kennen wirst. Du wirst schnell verstehen, wie du bei dieser Art von Zufallsversuchen rechnest. Am Ende kannst du dein erlerntes Wissen zu Laplace und Wahrscheinlichkeiten in Aufgaben weiter vertiefen und kontrollieren.

Ein Laplace Experiment ist eigentlich nichts anderes als das, was du in deinem Matheunterricht als Zufallsversuch kennenlernst - mit einer kleinen Einschränkung: Ein Laplace Experiment ist ein Zufallsversuch, bei dem die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse gleich sind . Typische Beispiele bei Laplace sind in der Regel das Werfen einer Münze oder eines gewöhnlichen Würfels. Das Besondere an diesen Versuchen ist, dass sie uns das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten vereinfachen. In Laplace-Experimenten gilt die Regel:

$P (E) = \frac {Anzahl\ der\ gewünschten\ Ergebnisse}{Anzahl\ der\ möglichen\ Ergebnisse}$

Wir müssen also einfach die Anzahl der Ergebnisse, die gewünscht sind, durch die Anzahl aller Ergebnisse dividieren.

Ein Laplace Experiment ist ein Zufallsversuch, bei dem die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse gleich sind.

Wie du siehst, ist die Rechnung für dich nicht neu. Und das ist nicht verwunderlich, da die allermeisten Zufallsexperimente, die du bis jetzt kennengelernt hast, Laplace-Experimente sind. Im Lerntext Zufallsversuche - Wahrscheinlichkeit von Ergebnissen berechnen kannst du nochmal alles Weitere dazu nachlesen.

Gut zu wissen

Pierre-Simon Laplace war ein französischer Mathematiker und Physiker, der um 1800 zu den Themen Wahrscheinlichkeitsrechnung und Differentialgleichungen forschte. Der Name Laplace kann dir in deinem Mathematikunterricht noch öfter begegnen.

Betrachten wir nun einige Beispiele, um den Unterschied zwischen Laplace-Experimenten und anderen Zufallsversuchen zu verstehen.

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Das erste "Laplace-Beispiel" ist ein wirklicher Klassiker in der Wahrscheinlichkeitsrechnung: das einmalige Werfen eines Würfels. Ein normaler Würfel hat sechs Seiten, die mit den Zahlen 1 bis 6 beschriftet sind. Jede Zahl hat die gleiche Wahrscheinlichkeit, gewürfelt zu werden.

Jede Zahl wird mit einer Wahrscheinlichkeit von

$P(E) = \frac {1}{6} \approx 16,7 \%$

gewürfelt.

Betrachten wir die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis "eine gerade Zahl würfeln":

Ereignis: "eine gerade Zahl würfeln"

Ereignismenge: $E= \{2, 4, 6\}$

$P (E) = \frac {3}{6} = \frac {1}{2}~~\widehat{=}~~50 \%$

Weitere Beispiele

Im folgenden Beispielkasten siehst du noch zwei weitere Beispiele, die dir beim Thema Laplace in Wahrscheinlichkeitsrechnung in Mathe begegnen können:

• Das Werfen einer Münze: Die Wahrscheinlichkeit für Kopf und Zahl liegt jeweils bei $50 \%$
• Das Drehen dieses Glücksrades: Jedes Feld hat eine Wahrscheinlichkeit von $ \frac {1}{6} \approx 16,7 \%$

Schauen wir uns einmal an, welche Art von Zufallsversuch kein Laplace-Experiment ist. Es gibt einige Zufallsversuche, bei denen nicht alle möglichen Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

Dazu gehören beispielsweise Würfel, bei denen eine bestimmte Zahl auf mehr als einer Seite abgebildet ist oder das Werfen einer Reißzwecke, die auf Grund ihrer Form nicht auf jeder Seite gleich wahrscheinlich liegen bleibt.

Nun weißt du, was ein Laplace-Experiment in Mathe ist, welche Regeln bei Laplace gelten und wie du die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten bestimmen kannst. Vertiefe dein Wissen zu Laplace und Wahrscheinlichkeit in unseren Aufgaben . Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!

Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!

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Was ist ein Laplace-Experiment?

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Schreiben einer Klassenarbeit

Welche Rechenregel gilt bei einem Laplace-Versuch?

$P (E) = \frac {Anzahl\ der\ gewünschten\ Ergebnisse}{Anzahl\ der\ möglichen\ Ergebnisse}$

$P (E) = \frac {Anzahl\ der\ möglichen\ Ergebnisse}{Anzahl\ der\ gewünschten\ Ergebnisse}$

$P (E) = \frac {Anzahl\ der\ möglichen\ Ergebnisse}{Anzahl\ der\ gewünschten\ Ergebnisse} \cdot 100\ %$

Markiere die richtigen Aussagen!

Die Wahrscheinlichkeit eine 3 zu treffen liegt bei 25%.

Es handelt sich bei dem Versuch um kein Laplace Experiment.

Das Werfen einer Münze ist ein Laplace Experiment.

Was ist kein Laplace-Experiment?

Wahl zum Klassensprecher

Werfen eines Würfels

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Laplace-Experiment & Laplace-Wahrscheinlichkeit

Hast du dich schon einmal gefragt, wie du die Wahrscheinlichkeit von bestimmten Ereignissen berechnest? Die Laplace-Wahrscheinlichkeit bietet eine der wichtigsten Möglichkeiten, um solche Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen.

Aber welche Voraussetzungen müssen erfüllt sein, damit du mit der Laplace-Wahrscheinlichkeit rechnen darfst?

simpleclub zeigt dir alles, was du über Laplace-Experimente und Laplace-Wahrscheinlichkeiten wissen musst.

Laplace-Experiment einfach erklärt

Ein prototypisches Beispiel für ein Laplace-Experiment ist das einmalige Werfen mit einem Würfel.

Ein Laplace-Experiment ist einfach ein Zufallsexperiment mit der Zusatzbedingung, dass alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

Das Würfeln ist zum Beispiel ein Laplace-Experiment , da es ein normales Zufallsexperiment ist und zusätzlich alle Zahlen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten.

Laplace-Wahrscheinlichkeit

Mit der Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnest du die Wahrscheinlichkeit eines beliebigen Ereignisses A A A A bei einem Laplace-Experiment .

Dabei teilst du die Anzahl der Elemente , die zu diesem Ereignis führen, durch die Gesamtanzahl an Möglichkeiten.

Laplace-Experiment Definition

Ein Laplace Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem alle Ergebnisse dieselbe Wahrscheinlichkeit haben.

Laplace-Wahrscheinlichkeit Definition

Die Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnet die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses A A A A durch:

Laplace-Experiment

Ein Laplace Experiment ist also nichts anderes als ein normales Zufallsexperiment mit zusätzlicher Einschränkung.

Bei einem Zufallsexperiment sind immer drei Merkmale erfüllt:

• Der Ausgang des Zufallsexperiments ist nicht vorhersagbar .
• Das Zufallsexperiment hat mehrere Ausgänge (sogenannte Ergebnisse).
• Das Zufallsexperiment kann beliebig oft wiederholt werden.

Für ein Laplace-Experiment muss zusätzlich gegeben sein:

Dies vereinfacht das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten erheblich. Deshalb werden dir Laplace Experimente in der Schule häufig begegnen.

Typische Alltagsbeispiele sind das Werfen eines normalen Würfels, das Ziehen einer bestimmten Karte aus einem Kartendeck oder andere Situationen, in denen der Ausgang aller Ergebnisse genau gleich wahrscheinlich ist.

Alle Zufallsexperimente, bei denen nicht alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, sind keine Laplace Experimente !

Zum Beispiel ist das Drehen des folgenden Glücksrads kein Laplace-Experiment, da nicht alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

Berechnung der Laplace-Wahrscheinlichkeit

Du kannst die Wahrscheinlichkeit eines Laplace-Experiments berechnen, wenn du die Anzahl der Ergebnisse zu einem Ereignis durch die Gesamtanzahl an Möglichkeiten teilst.

Beim einmaligen Werfen eines handelsüblichen Würfels gehören zu dem Ereignis G G G G : Es wird eine gerade Zahl gewürfelt die Ergebnisse 2 2 2 2 , 4 4 4 4 und 6 6 6 6 . Die Anzahl an Möglichkeiten zu dem Ereignis G G G G sind also 3 3 3 3 .

Mathematisch ausgedrückt ist das die Mächtigkeit des Ereignisses G G G G . Du sagst also Ereignis G G G G besitzt die Mächtigkeit 3 3 3 3 .

Das schreibst du dann mit Betragsstrichen um das Ereignis:

Es können insgesamt die Zahlen 1 1 1 1 bis 6 6 6 6 gewürfelt werden.

Die Anzahl aller Ergebnisse im Ergebnisraum ist die Mächtigkeit des Ergebnisraum .

Du kannst die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses G G G G , also P(G) P ( G ) P(G) P ( G ) , nun durch die Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnen. Dazu teilst du die Mächtigkeit des Ereignisses durch die Mächtigkeit des Ergebnisraums .

Mit der Karteikartenfunktion kannst du deine Vokabeln, Definitionen oder andere Themen, die du auswendig lernen musst, einfach einscannen.

Pasch würfeln

Jan und ein Freund würfeln in einem Café mit zwei Würfeln darum, wer von ihnen den nächsten Kaffee bezahlen muss.

Bei einem Pasch (beide Würfel zeigen dieselbe Augenzahl) ist Jan an der Reihe, bei allen anderen Würfen muss sein Freund bezahlen.

Berechne die Wahrscheinlichkeit , dass Jan den nächsten Kaffee bezahlen muss.

Es handelt sich um ein Laplace Experiment , da alle möglichen Würfe gleich wahrscheinlich sind.

Es gibt 6 Möglichkeiten , einen Pasch zu würfeln (also 6 gewünschte Ergebnisse ):

Insgesamt gibt es 36 mögliche Ergebnisse , da mit zwei Würfeln 36 verschiedene Kombinationen möglich sind:

Du berechnest nun die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Jan Kaffee holen muss, indem du die Anzahl der gewünschten Ergebnisse (einen Pasch) durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse teilst:

Karte ziehen

In einem gewöhnlichen Skatdeck befinden sich insgesamt 32 Karten .

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei einmaligem Ziehen einen Buben aus dem Deck zu ziehen?

Wieder handelt es sich um ein Laplace Experiment , da die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Karte zu ziehen bei jeder Karte genau gleich groß ist.

Es gibt vier Buben in dem Kartendeck, also ist dies auch die Anzahl der gewünschten Ergebnisse :

Insgesamt sind 32 Karten im Kartendeck, also können auch 32 verschiedene Karten gezogen werden. Somit gibt es 32 mögliche Ergebnisse :

Nun berechnest du die Gesamtwahrscheinlichkeit einen Buben zu ziehen , indem du die Anzahl der gewünschten Ergebnisse (ein Bube wird gezogen) durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse teilst:

Zusammenfassung

Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment , bei dem zusätzlich alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen.

Bei der Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnest du die Wahrscheinlichkeit eines Ereignis A A A A , indem du die Anzahl der günstigen Möglichkeiten durch die Gesamtmöglichkeiten teilst.

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Laplace-Experimente – Überblick

Laplace-Experimente sind Zufallsversuche, bei denen alle möglichen Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen, teilt man die Anzahl der gewünschten Ergebnisse durch die Gesamtanzahl der möglichen Ergebnisse. Hast du Interesse daran? Mehr dazu und andere Informationen findest du im folgenden Text!

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Laplace-Experiment einfach erklärt

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Grundlagen zum Thema Laplace-Experimente – Überblick

Bei Familie Glücklich werden die Aufgaben im Haushalt zufällig verteilt. Dazu haben die Eltern von Ben ein faires Glücksrad erstellt. Fair ist es deshalb, weil alle drei Segmente gleich groß sind. Eines für den Vater, eines für die Mutter und ein Segment für Ben. Nach dem Mittagessen muss das Geschirr abgespült werden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit muss Ben diese Aufgabe übernehmen? Das können wir mithilfe der Formel für Wahrscheinlichkeiten bei Laplace-Experimenten berechnen. Hier verschaffen wir uns einen Überblick.

Laplace-Experimente sind Zufallsversuche . Für einen Zufallsversuch musst du einen Vorgang ohne Veränderung wiederholen können, zum Beispiel immer dasselbe Glücksrad drehen. Obwohl der Zufallsversuch wiederholbar sein muss, kannst du das Ergebnis nicht vorhersagen. Drehen wir das Glücksrad von Familie Glücklich einmal, dann können drei Ergebnisse zufällig eintreten, Vater (rosa Feld), Mutter (blaues Feld) oder Ben (grünes Feld). Alle Ergebnisse zusammen bilden die Ergebnismenge . Diese wird geschrieben als:

Ergebnismenge: $\lbrace Vater; Mutter; Ben \rbrace$

Nach einem Zufallsversuch kannst du untersuchen, ob ein bestimmtes Ereignis eingetreten ist. Zum Beispiel kannst du beim Glücksrad untersuchen, ob ein Erwachsener ausgewählt wurde. Dieses Ereignis $E$ für Erwachsene setzt sich aus den beiden Ergebnissen Vater und Mutter zusammen.

Ereignis: $E = \lbrace Vater; Mutter \rbrace$

Ereignisse sind also Teilmengen der Ergebnismenge. Besteht ein Ereignis nur aus einem einzigen Ergebnis, nennt man es Elementarereignis . Beim Glücksrad kannst du zum Beispiel untersuchen, ob ein Kind ausgesucht wurde. Dieses Ereignis $K$ für Kind besteht nur aus dem Ergebnis Ben und ist deshalb ein Elementarereignis.

Elementarereignis: $K = \lbrace Ben \rbrace$

Die Bedingung für ein Laplace-Experiment ist, dass alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit $P$ haben.

$P(Vater) = P(Mutter) = P(Ben)$

Tatsächlich ist das Drehen an dem Glücksrad der Familie Glücklich also ein Laplace-Experiment, denn alle drei Abschnitte sind gleich groß. Jeder Abschnitt wird dadurch mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gedreht. Aber wie groß ist diese Wahrscheinlichkeit genau?

Stell dir vor, die Wahrscheinlichkeit verhält sich wie eine Flüssigkeit. Wenn du eine Flüssigkeit gleichmäßig auf drei Gefäße verteilst, ist in jedem davon ein Drittel der Flüssigkeit enthalten. Die Gesamtwahrscheinlichkeit verteilt sich bei einem Laplace-Experiment gleichmäßig auf die Elementarereignisse, weil diese gleich wahrscheinlich sind. Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim Hausarbeiten-Glücksrad eine der drei Personen gedreht wird. Zu $100\,\%$ wird eine der drei Personen gedreht, das entspricht einer Wahrscheinlichkeit von $1$. Da es drei gleich wahrscheinliche Elementarereignisse gibt, hat jedes einzelne die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{3}$.

$P(Vater) = \dfrac{1}{3}$

$P(Mutter) = \dfrac{1}{3}$

$P(Ben) = \dfrac{1}{3}$

Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit musst du also nur wissen, wie viele Elementarereignisse es gibt. Die Wahrscheinlichkeit für ein Elementarereignis beträgt dann $1$ geteilt durch die Anzahl der Elementarereignisse.

Bei Familie Glücklich beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass sich Ben um den Abwasch kümmern muss, also $\frac{1}{3}$. Mit dem Glücksrad bestimmt Familie Glücklich aber auch, wer für den Müll zuständig ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Erwachsener den Müll rausbringen muss?

Dabei handelt es sich um ein zusammengesetztes Ereignis . Denn sowohl Bens Mutter als auch sein Vater sind Erwachsene. Das Ereignis $E$ für Erwachsene besteht also aus zwei Elementarereignissen. Es wird geschrieben als:

Das Ereignis $E$ tritt also dann ein, wenn entweder der Vater oder die Mutter ausgewählt werden. Von den insgesamt $3$ möglichen Fällen passen also $2$ zum gesuchten Ereignis $E$. Man sagt, diese zwei sind günstig für das Ereignis $E$. Wie können wir nun die Wahrscheinlichkeit $P(E)$ berechnen? Stellen wir uns noch einmal die Flüssigkeit verteilt auf drei Gefäße vor. Kippen wir nun zwei der drei Gefäße zusammen, erhalten wir ein Gefäß mit $\frac{2}{3}$ der Flüssigkeit. Genauso beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Erwachsener beim Glücksrad gedreht wird, $\frac{2}{3}$.

$P(E) = \dfrac{2}{3}$

Du musst bei Laplace-Experimenten also lediglich zählen, wie viele Elementarereignisse günstig für das gesuchte Ereignis sind und wie viele Elementarereignisse möglich sind, also überhaupt eintreten könnten.

Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis $E$ berechnest du bei einem Laplace-Experiment mit der Formel:

$\qquad P(E) = \dfrac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl möglicher Ergebnisse}}$

Typische Beispiele für Laplace-Experimente sind das einmalige Würfeln oder das Werfen einer Münze. Bei einem Würfel verteilt sich die Gesamtwahrscheinlichkeit auf die sechs möglichen Elementarereignisse ($ 1, 2, 3, 4, 5, 6 $). Jedes Elementarereignis hat also die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$.

Laplace-Experiment

Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsversuch , bei dem alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses kannst du mit folgender Formel berechnen:

Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsversuch, bei dem alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen.

Die Regel beziehungsweise Formel zu Laplace-Experimenten besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich der Anzahl der günstigen Ergebnisse (also der dem Ereignis zugehörigen Ergebnisse) geteilt durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse ist:

$P(E) = \dfrac{Anzahl\,günstiger\,Ergebnisse}{Anzahl\,möglicher\,Ergebnisse}$

Typische Beispiele für Laplace-Experimente sind der Münzwurf und der Würfelwurf.

Lotto ist ein Laplace-Experiment, da alle Zahlenkombinationen als Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind.

Wenn man die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis bei einem Laplace-Experiment berechnen möchte, muss man die Anzahl an günstigen Ergebnissen durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse teilen.

Ein Zufallsexperiment ist ein Laplace-Experiment, wenn alle Elementarereignisse des Experiments gleich wahrscheinlich sind.

Ein Zufallsexperiment, bei dem unterschiedliche Elementarereignisse nicht die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen, ist kein Laplace-Experiment. Das ist zum Beispiel bei einem gezinkten Würfel oder einem Glücksrad mit unterschiedlich großen Feldern der Fall.

Jedes Laplace-Experiment ist auch ein Zufallsexperiment. Damit es sich bei einem Zufallsexperiment gleichzeitig auch um ein Laplace-Experiment handelt, muss die Bedingung erfüllt sein, dass die Wahrscheinlichkeit aller Elementarereignisse gleich groß ist.

Zufallsversuche (auch Zufallsexperimente genannt) müssen folgende Bedingungen erfüllen:

• Ihre Durchführung muss unter den gleichen Bedingungen wiederholbar sein.
• Alle möglichen Ausgänge sind bekannt.
• Der Ausgang kann nicht vorhergesagt werden.

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Transkript Laplace-Experimente – Überblick

Bei Familie Glücklich werden die Aufgaben im Haushalt zufällig verteilt. Die Eltern von Ben haben dazu ein faires Glücksrad aufgestellt. Fair ist es deshalb, weil alle Segmente gleich groß sind. Nach dem Mittagessen muss das Geschirr gespült werden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit muss BEN den Abwasch erledigen? Das können wir mit Hilfe von Laplace-Experimenten berechnen. Hier verschaffen wir uns einen Überblick Laplace-Experimente sind Zufallsversuche. Für einen Zufallsversuch musst du einen Vorgang ohne Veränderung wiederholen können, zum Beispiel immer das selbe Glücksrad drehen. Trotzdem kannst du bei einem Zufallsversuch das Ergebnis nicht vorhersagen. Wenn wir das Glücksrad einmal drehen, können DREI Ergebnisse zufällig eintreten: Vater, Mutter oder Ben. Alle Ergebnisse zusammen bilden die Ergebnismenge. Nach einem Zufallsversuch kannst du untersuchen, ob ein bestimmtes EREIGNIS eingetreten ist. Zum Beispiel kannst du beim Glücksrad untersuchen, ob ein Erwachsener ausgewählt wurde. Dieses Ereignis E für Erwachsener setzt sich aus den beiden Ergebnissen Vater und Mutter zusammen. Ereignisse sind also Teilmengen der Ergebnismenge. Wenn ein Ereignis nur aus einem einzigen Ergebnis besteht, nennt man es Elementarereignis. Beim Glücksrad kannst du zum Beispiel untersuchen, ob ein Kind ausgewählt wurde. Dieses Ereignis K für Kind besteht nur aus dem Ergebnis Ben und ist deshalb ein Elementarereignis. Nun ist ein Zufallsversuch genau dann ein Laplace-Experiment, wenn alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Tatsächlich ist das Drehen an unserem Glücksrad also ein Laplace-Experiment. Denn alle drei Abschnitte sind gleich groß, jeder Abschnitt wird daher mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gedreht. Aber WIE groß ist diese Wahrscheinlichkeit genau? Stell dir vor, die Wahrscheinlichkeit verhält sich wie eine Flüssigkeit. Wenn du eine Flüssigkeit gleichmäßig auf drei Gefäße verteilst, ist in jedem davon ein Drittel der Flüssigkeit enthalten. Die Gesamtwahrscheinlichkeit verteilt sich bei einem Laplace-Experiment gleichmäßig auf die Elementarereignisse, weil sie gleich wahrscheinlich sind. Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim Hausarbeiten-Glücksrad eine der drei Personen gedreht wird — 100 %, also 1. Weil es hier drei gleich wahrscheinliche Elementarereignisse gibt, haben alle die Wahrscheinlichkeit ein Drittel. Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit musst du also nur wissen, WIE VIELE Elementarereignisse es gibt. Die Wahrscheinlichkeit für EIN Elementarereignis beträgt dann 1 geteilt durch die Anzahl der Elementarereignisse. Typische Beispiele für Laplace-Experimente sind das einmalige Würfeln oder das Werfen einer Münze. Bei einem Würfel verteilt sich die Gesamtwahrscheinlichkeit auf die sechs möglichen Elementarereignisse: 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 Augen zu würfeln Jedes Elementarereignis hat also die Wahrscheinlichkeit ... ein Sechstel. Zurück zu Familie Glücklich. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich Ben um den Abwasch kümmern muss, beträgt, wie wir gesehen haben, ein Drittel. Mit dem Glücksrad bestimmt Familie Glücklich aber auch, wer für den Müll zuständig ist. Aber wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein ERWACHSENER den Müll rausbringen muss? Das ist ein zusammengesetztes Ereignis, denn sowohl Bens Mutter als auch sein Vater sind Erwachsene. Das Ereignis E für "Erwachsener" besteht also aus zwei Elementarereignissen: Mutter und Vater. Man schreibt es SO. Das Ereignis E tritt also dann ein, wenn entweder der Vater oder die Mutter ausgewählt werden. Von den insgesamt drei MÖGLICHEN Fällen passen also zwei zum gesuchten Ereignis. Man sagt, diese zwei sind GÜNSTIG für das Ereignis. Wie kannst du also die Wahrscheinlichkeit P von E berechnen? Stell dir vor, du würdest zwei der drei Gefäße mit der Flüssigkeit zusammenschütten. Dann hättest du ein Gefäß mit zwei Dritteln der Flüssigkeit. Genauso beträgt also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Erwachsener beim Glücksrad gedreht wird, zwei Drittel. Du musst bei Laplace-Experimenten also lediglich zählen, wie viele Elementarereignisse "günstig" für das gesuchte Ereignis sind und wie viele Elementarereignisse "möglich" sind, also überhaupt eintreten könnten. Die Wahrscheinlichkeit für das gesuchte Ereignis berechnest du dann als "günstige" geteilt durch "mögliche". Wir fassen zusammen: Bei einem Laplace-Experiment kannst du die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis E berechnen, indem du zunächst die Anzahl aller MÖGLICHEN Ergebnisse zählst. Dann prüfst du, wie viele Ergebnisse davon zum gesuchten Ereignis passen - das ist die Anzahl der GÜNSTIGEN Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E ist dann die Anzahl der günstigen Ergebnisse durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse. Kurz gesagt: Günstige durch Mögliche. Wie steht es denn um Familie Glücklich und ihr Glücksrad? Wie ungünstig.

Das ist so gut erklärt,ich habe jetzt alles verstanden:D

Sehr gut erklärt! Danke ^^

Super Video, alles verständlich erklärt!

Hallo Antje Dichter,

kannst du deine Frage bitte etwas genauer beschreiben. Welche Größe soll 1/3 oder 3/3 sein?

Liebe Grüße aus der Redaktion

îst dann "möglich" 1/3 oder 3/3 aka Ein ganzes, bezogen auf das Beispiel

Laplace-Experimente – Überblick Übung

Berechne die wahrscheinlichkeit des elementarereignisses des gegebenen laplace-experiments..

Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses in einem Laplace-Experiment berechnest du wie folgt:

$\frac{\text{Gesamtwahrscheinlichkeit}}{\text{Anzahl der Elementarereignisse}}$

Die Ergebnismenge enthält die drei Elementarereignisse Ben , Vater und Mutter .

Es handelt sich bei dem Hausarbeiten-Glücksrad der Familie Glücklich um ein Glücksrad mit drei gleich großen Segmenten. Dreht man das Glücksrad einmal, können drei Ergebnisse zufällig eintreten: Vater , Mutter oder Ben . Alle Ergebnisse zusammen bilden die Ergebnismenge , also:

$\{\text{Ben; Vater; Mutter}\}$

Bei einem Zufallsversuch kann man untersuchen, ob ein bestimmtes Ereignis eintritt. Wenn ein Ereignis aus einem einzigen Ergebnis besteht, so nennt man dieses ein Elementarereignis . Ein Beispiel: „ Ben muss den Abwasch erledigen.“:

$K=\{\text{Ben}\}$

Das Drehen an einem Glücksrad mit gleich großen Segmenten ist ein Laplace-Experiment, da alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, nämlich:

Die Gesamtwahrscheinlichkeit , also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim Hausarbeiten-Glücksrad eine bzw. einer der drei Abgebildeten gedreht wird, entspricht $1$. Da es hier drei gleich wahrscheinliche Elementarereignisse gibt, muss Ben mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac 13$ den Abwasch erledigen.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E$.

In der Ergebnismenge sind alle möglichen Elementarereignisse enthalten.

Schaue dir dieses Beispiel an:

Betrachte zum Laplace-Experiment „einmaliges Würfeln“ folgendes Ereignis:

$E=\{\text{Würfeln einer geraden Zahl}\}$

Hier gibt es drei günstige Elementarereignisse, nämlich die geraden Zahlen $2$, $4$ und $6$. Die Ergebnismenge setzt sich aus sechs möglichen Elementen mit je der gleichen Wahrscheinlichkeit zusammen. Es gilt dann:

$P(E)=\frac 36=\frac 12$

Das Ereignis ist eine Teilmenge der Ergebnismenge.

Es ist ein Glücksrad mit drei gleich großen Segmenten Ben , Mutter und Vater gegeben. Die Ergebnismenge dieses Glücksrads lautet demnach wie folgt:

$\{\text{Ben; Mutter; Vater}\}$

Wir suchen die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim Drehen des Glücksrads ein Erwachsener eintritt. Wir betrachten also dieses Ereignis:

$E=\{\text{Mutter; Vater}\}$

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bestimmen wir so:

$\frac{\text{Anzahl günstiger Elementarereignisse}}{\text{Anzahl möglicher Elementarereignisse}}$

Die Anzahl günstiger Elementarereignisse beträgt hier $2$, nämlich die beiden Elementarereignisse Mutter und Vater . Und $3$ Elementarereignisse sind möglich . Somit wird die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $E$ folgendermaßen berechnet:

$P(E)=\frac{\text{Anzahl günstiger Elementarereignisse}}{\text{Anzahl möglicher Elementarereignisse}}=\frac 23$

Bestimme die Wahrscheinlichkeit der jeweiligen Elementarereignisse.

$\frac{1}{\text{Anzahl aller Elementarereignisse}}$

Schau dir folgendes Beispiel an:

Beim Drehen eines Glücksrads mit $12$ gleich großen Segmenten tritt ein Elementarereignis mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac 1{12}$ ein.

Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses in einem Laplace-Experiment erhalten wir so:

$\frac{\text{Gesamtwahrscheinlichkeit}}{\text{Anzahl aller Elementarereignisse}}$

Die Gesamtwahrscheinlichkeit entspricht $1$, sodass sich der Ausdruck wie folgt vereinfacht:

Für die gegebenen Beispiele erhalten wir diese Wahrscheinlichkeiten für die jeweiligen Elementarereignisse:

• Laplace-Glücksrad mit $4$ Segmenten:
• Laplace-Würfel mit $6$ Flächen:
• Laplace-Münze:
• Laplace-Glücksrad mit $5$ Segmenten:

Ermittle die gesuchten Wahrscheinlichkeiten.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erhältst du, wenn du die Anzahl günstiger Elementarereignisse durch die Anzahl möglicher Elementarereignisse teilst.

Die Wahrscheinlichkeit der Elementarereignisse eines Laplace-Würfels, welcher mit den Augenzahlen $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ und $6$ beschriftet ist, beträgt $\frac 16$.

Eine Quadratzahl ist eine Zahl, die durch Multiplikation einer ganzen Zahl mit sich selbst entsteht.

$7\cdot7=49$

$49$ ist demnach eine Quadratzahl.

Die Wahrscheinlichkeit der Elementarereignisse eines Laplace-Würfels, welcher mit den Augenzahlen $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ und $6$ beschriftet ist, beträgt $\frac 16$. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das sich aus mehreren Elementarereignissen zusammensetzt, kannst du wie folgt bestimmen:

Die Anzahl möglicher Elementarereignisse ist für einen solchen Laplace-Würfel stets sechs. Die Anzahl günstiger Elementarereignisse liefert das jeweilige Ereignis.

Ereignis $A$

Das Ereignis, eine gerade Zahl zu würfeln, ist wie folgt gegeben:

$A=\{2;4;6\}$

Diese Menge enthält drei Elemente, sodass wir folgende Wahrscheinlichkeit erhalten:

$P(A)=\frac 36=\frac 12$

Ereignis $B$

Das Ereignis, eine Primzahl zu würfeln, ist wie folgt gegeben:

$B=\{2;3;5\}$

$P(B)=\frac 36=\frac 12$

Ereignis $C$

Das Ereignis, eine Quadratzahl zu würfeln, ist wie folgt gegeben:

$A=\{1;4\}$

Diese Menge enthält zwei Elemente, sodass wir folgende Wahrscheinlichkeit erhalten:

$P(C)=\frac 26=\frac 13$

Ereignis $D$

Es ist das folgende Ereignis gegeben:

$D=\{1; 3; 5; 6 \}$

Dieses Ereignis enthält vier Elemente, sodass wir folgende Wahrscheinlichkeit erhalten:

$P(D)=\frac 46=\frac 23$

Gib an, welches der folgenden Zufallsexperimente ein Laplace-Experiment ist.

Bei einem Laplace-Experiment haben alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit.

Ein Elementarereignis ist ein Ereignis mit genau einem Ergebnis.

Betrachte folgendes Zufallsexperiment:

Werfen eines Würfels mit den Zahlen $1$, $1$, $1$, $3$, $4$ und $5$. Es gelten folgende Wahrscheinlichkeiten:

• $P({1})=\frac 12$
• $P({3})=\frac 16$
• $P({4})=\frac 16$
• $P({5})=\frac 16$

Bei einem Laplace-Experiment haben alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit. Ein Elementarereignis ist ein Ereignis mit genau einem Ergebnis.

Also betrachten wir die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse der gegebenen Zufallsexperimente:

• Werfen eines Würfels mit den Zahlen $1$, $2$, $2$, $3$, $4$ und $5$
• $P({1})=\frac 16$
• $P({2})=\frac 13$
• Werfen eines Würfels mit den Zahlen $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ und $6$
• $P({2})=\frac 16$
• $P({6})=\frac 16$
• Drehen eines Glücksrads mit $10$ gleich großen Segmenten
• Drehen eines Glücksrads mit $10$ Segmenten, von denen je zwei gleich groß sind
• Ziehen eines Loses aus einem Lostopf mit dreimal so vielen Nieten wie Gewinnen.
• Werfen einer Münze

Ermittle die Wahrscheinlichkeiten der gegebenen Ereignisse.

Teile die Anzahl günstiger Elementarereignisse durch die Anzahl möglicher Elementarereignisse.

Um auf die zweite Stelle nach dem Komma zu runden, schaust du dir die dritte Stelle hinter dem Komma an:

• Bei einer $0$ bis $4$ wird abgerundet.
• Bei einer $5$ bis $9$ wird aufgerundet.
• $M=\{1;2;5;6\}$
• $K=\{1;3;6\}$
• $L=\{1;2;4;5;6\}$
• $P(M)=\frac 47\approx 0,57$
• $P(K)=\frac 37\approx 0,43$
• $P(L)=\frac 57\approx 0,71$

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Laplace Experiment (Video)

In diesem Video erklären wir dir, was ein Laplace Experiment ist. Wir zeigen dir, wie du die Wahrscheinlichkeit für verschiedene Ereignisse berechnen kannst und wie du mit Hilfe von Laplace den Prozentsatz für das Eintreten eines bestimmten Ergebnisses bestimmen kannst.

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Laplace Experiment / Versuch

Ein Laplace Experiment ist ein Zufallsexperiment, wobei jedes Ergebnis dieselbe Wahrscheinlichkeit hat. Dies ist zum Beispiel bei einem Würfel der Fall, da die Wahrscheinlichkeit eine eins zu würfeln genauso hoch ist, wie die restlichen Ergebnisse.

Beispiele für Laplace Experimente sind:

• Münze werfen
• Eine von 5 unterschiedlichen Kugeln ziehen

Die Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Laplace Experiments ist:

• |E| die Anzahl an Ergebnissen, bei denen euer Ereignis zutrifft.
• Beim Ereignis die 1 würfeln, gibt es nur eine Möglichkeit, nämlich wenn der Würfel die 1 anzeigt, deshalb würde dann die 1 an der Stelle stehen.
• Beim Ereignis eine gerade Zahl würfeln, gibt es 3 Möglichkeiten, die 2, 4 und 6. Deshalb kommt dann bei diesem Beispiel eine 3 an diese Stelle. 
• |Ω| ist die Anzahl an allen möglichen Ergebnissen des Zufallsexperiments.
• Beim Würfeln wäre es 6, da es 6 mögliche Ergebnisse beim Würfeln gibt.
• Beim Münze werfen wäre es 2, da nur Kopf und Zahl möglich sind

Aufgabe zum Laplace Experiment

Klickt auf einblenden, um die Lösung der Aufgabe zu sehen.

Beispiel zum Laplace Experiment

Ihr werft 2 mal eine Münze und sollt folgende Wahrscheinlichkeiten berechnen:

• Ihr werft mindestens  einmal Kopf (Ereignis A), also entweder einmal oder zweimal
• Ihr werft zweimal Kopf (Ereignis B)

Das berechnet ihr so:

Lösung zu 1.

• Aufgeschrieben wäre es (K steht für Kopf und Z für Zahl): A={ZK; ZZ; KZ} -> es sind 3 Möglichkeiten
• oder, um es zu berechnen, schaut euch noch mal unser Kapitel Anzahl der Möglichkeiten berechnen  an.
• das macht man, entweder, indem man sich alle Möglichkeiten aufschreibt -> Es gibt insgesamt 4 Möglichkeiten.
• oder, indem man die Anzahl an Möglichkeiten pro Wurf (also 2) hoch die Anzahl an Würfen (hier auch 2) nimmt -> Es gibt insgesamt 4 Möglichkeiten beim zweifachen Münzwurf.
• danach teilt man die Anzahl an Ergebnissen, die eure Bedingung erfüllen, durch die gesamt mögliche Anzahl an Ergebnissen, dann erhaltet ihr für die Wahrscheinlichkeit:

Wie ihr seht, ist die Wahrscheinlichkeit mindestens einmal Kopf zu werfen bei 75%. Alternativ könnt ihr auch einfach die Wahrscheinlichkeit das genau 1 mal Kopf raus kommt (50%) mit der Wahrscheinlichkeit das genau 2 mal Kopf raus kommt (25%) addieren. Denn das sind die beiden Möglichkeiten, dass mindestens einmal Kopf dabei ist.

Lösung zu 2.

Geht wie oben vor dann erhaltet ihr:

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Laplace-Experiment

Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment , bei dem alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Das typische Beispiel dafür ist das Werfen von einem fairen Würfel – alle sechs Augenzahlen haben die gleiche Wahrscheinlichkeit 1/6. Allgemein beträgt bei einem Laplace-Experiment mit n möglichen Ausgängen (also mit einer Ergebnismenge aus n Elementen; \(|\Omega | = n\) ) die Wahrscheinlichkeit der n Ergebnisse a i jeweils \(P(a_i)=\displaystyle \frac 1 n\) . Benannt ist das Laplace-Experiment nach Pierre-Simon Laplace (1749–1827), einem der Begründer der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Für ein Ereignis, also eine Teilmenge  \(A \subseteq \Omega\) der Ergebnismenge eines Laplace-Experiments gilt die wichtige Faustregel

„Wahrscheinlichkeit = Zahl der günstigen Fälle durch Zahl aller Fälle“: \(P(A)=\displaystyle \frac{|A|}{|\Omega|}\)

Zum Beispiel hat das Ereignis E „gewürfelte Zahl ist Teiler von 5“ die Wahrscheinlichkeit \(P(E)=\displaystyle \frac{|E|}{|\Omega|} = \frac{| \{ 1; 5\} |}{| \{ 1; 2; 3; 4; 5; 6\} |} = \frac1 3\)

Achtung: Man sollte Laplace - und Bernoulli-Experimente nicht miteinander verwechseln. Ein fairer Münzwurf ist sowohl ein Laplace- als auch ein Bernoulli-Experiment, ein fairer Würfel ist ein Laplace-, aber kein Bernoulli-Experiment, das Experiment „Lotto-Jackpot: Ja oder Nein?“ ist kein Laplace-, aber ein Bernoulli-Experiment und ein gezinkter Würfel ist weder noch.

Schlagworte

• #Stochastik
• #Kombinatorik

• Laplace-Experimente
• Mathe lernen
• Wichtige Grundbegriffe

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Was sind Laplace-Experimente?

Wir betrachten dazu folgendes Beispiel:

Der Mensadienst für die nächste Woche wird unter allen Achtklässlern ausgelost. Klasse 8a hat , Klasse 8b und Klasse 8c Schüler. Leider hat der Stufenkoordinator nicht beachtet, dass die Klasse 8b den Mensadienst nicht übernehmen kann, da sie zu spät mit dem Bus vom Sportunterricht zurückkommt. Außerdem können weitere Schüler keinen Mensadienst übernehmen, weil sie eine Orchesterprobe haben. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der erste ausgeloste Schüler gar keinen Mensadienst übernehmen kann?

Lösung zu Aufgabe 1

Die achte Klasse hat insgesamt Schüler. Die Anzahl der Schüler, die den Mensadienst nicht übernehmen können ist . Damit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, dass ein ausgeloster Schüler den Mensadienst nicht übernehmen kann, zu

Es wird mit zwei Würfeln gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass

• die Summe der Augenzahlen eine Primzahl ist?
• das Produkt der Augenzahlen gerade ist?
• die Differenz der Augenzahlen gleich drei ist?

Lösung zu Aufgabe 2

• : Die Augensumme ist eine Primzahl. Es gilt: Also .
• : Das Produkt der Augenzahlen ist gerade. : Das Produkt der Augenzahlen ist ungerade.
• : Die Differenz der Augenzahlen ist gleich drei. Also .

Aus einem Kartenspiel mit 52 Karten wird eine Karte gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es

• eine Herz-Karte (H) ist?
• eine Dame (D) ist?
• eine Herz-Karte (H) oder eine Dame (D) ist?

Lösung zu Aufgabe 3

• Es befinden sich 13 Herz-Karten im Deck, damit ist
• Es befinden sich 4 Damen im Deck, damit ist
• Es gibt insgesamt 13 Herz-Karten im Deck. In diesen ist schon eine Dame enthalten. Es gibt daher noch 3 weitere Damen, die noch nicht gezählt wurden. Insgesamt gibt es also 16 "günstige"Karten im Deck. Damit beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
• die Summe der Augenzahlen größer als 7 ist?
• das Produkt der Augenzahlen größer als 16 ist?
• zwei verschiedene Zahlen gewürfelt werden?

Lösung zu Aufgabe 4

• : Die Augensumme ist größer als 7. Es gilt: Also .
• : Das Produkt der Augenzahlen ist größer als 16. Es gilt: Also:
• : Es werden zwei verschiedene Zahlen gewürfelt. : Es wird ein Pasch gewürfelt.

Laplace-Experiment

Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment , bei dem die unterschiedlichen Elementarereignisse alle gleich wahrscheinlich sind, d.h. die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

Es wird ein gewöhnlicher Würfel mit den Zahlen 1 bis 6 geworfen. Da die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl gewürfelt wird, für alle Augenzahlen gleich ist, spricht man hier von einem Laplace-Experiment . Einen solchen Würfel bezeichnet man oft auch als Laplace-Würfel .

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in Laplace-Experimenten

Elementarereignisse.

Bei Laplace-Experimenten ist die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses ω \omega ω (griechischer Buchstabe für klein-"Omega") immer gleich:

Das folgt daraus, dass es ∣ Ω ∣ |\Omega| ∣Ω∣ (groß-"Omega") viele Elementarereignisse gibt und die Summe deren Wahrscheinlichkeiten 1 ergibt.

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse ergibt, wie man sehr leicht sieht, 1 1 1 .

Bei einem Würfel gibt es 6 Elementarereignisse, nämlich die Zahlen eins bis sechs zu würfeln. Dabei haben die einzelnen Elementarereignisse die Wahrscheinlichkeit 1 6 \frac{1}{6} 6 1 ​ , d.h. P ( ω ) = 1 6 P(\omega)=\frac16 P ( ω ) = 6 1 ​ für alle ω ∈ Ω \omega \in \Omega ω ∈ Ω , wobei Ω = { 1 , 2 , … , 6 } \Omega=\left\{1{,}2,…,6 \right\} Ω = { 1 , 2 , … , 6 } .

Allgemeines Ereignis

In einem Laplace-Experiment ist die Wahrscheinlichkeit , dass ein Ereignis A eintritt, das aus mehreren Elementarereignissen besteht,

Dabei ist ∣ A ∣ \left|A\right| ∣ A ∣ die Anzahl der Elementarereignisse in A A A und ∣ Ω ∣ \left|\Omega\right| ∣ Ω ∣ die Gesamtanzahl der Elementarereignisse: 

Die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei Laplace-Experimenten ist daher ein großes Anwendungsgebiet der Kombinatorik , da diese sich genau mit dem Abzählen von bestimmten Ereignissen beschäftigt.

Das Zufallsexperiment sei ein Würfelwurf und A = A= A = "eine gerade Augenanzahl wird gewürfelt". Dann ist

Video zum Laplace-Experiment

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Übungsaufgaben : Laplace-Experiment

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner : Aufgaben zum Thema Laplace-Experiment

Du hast noch nicht genug vom Thema?

Hier findest du noch weitere passende Inhalte zum Thema:

• Zufallsexperiment
• Gegenereignis
• Absolute Häufigkeit
• Relative Häufigkeit
• Wahrscheinlichkeit

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Laplace Experiment / Versuch

Mit dem Laplace Experiment bzw. dem Laplace Versuch befassen wir uns in diesem Artikel. Dabei erklären wir euch, was man überhaupt unter einem Laplace Experiment / Versuch versteht und wie man Rechnungen bei diesem ausführt. Dieser Artikel gehört zum Bereich Mathematik.

Klären wir zunächst den Begriff Zufallsexperiment: Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, bei dem mindestens zwei Ergebnisse möglich sind und bei dem man vor Ablauf des Vorgangs das Ergebnis nicht vorhersehen kann. Beispiel: Ein Würfel wird geworfen. Auf welcher Seite er landet, ist vor Abwurf des Würfels aus der Hand nicht zu sagen.

Unter einem Laplace Experiment versteht man ein Zufallsexperiment, bei dem alle Möglichkeiten des Versuchsausgangs die gleiche Wahrscheinlichkeit aufweisen. Man spricht hier oftmals von "gleichwahrscheinlich".

Laplace Experiment: Beispiele

Woran erkennt man nun, ob es sich um einen Laplace Versuch handelt oder nicht? Die Frage ist oftmals nicht ganz so einfach zu beantworten und erfordert in vielen Fällen Vorkenntnisse auf dem entsprechenden Gebiet. Es folgen ein paar Beispiele:

• Ein normaler Würfel hat sechs Seiten. Sofern an dem Würfel nichts manipuliert wurde, ist die Wahrscheinlichkeit die Zahl 1 zu Würfeln genauso groß, wie die Wahrscheinlichkeit die Zahl 6 zu Würfeln. Es handelt sich somit um ein Laplace Experiment / Versuch.
• Eine Münze hat zwei Seiten: Kopf und Zahl. Bei einer nicht manipulierten Münze ist die Wahrscheinlichkeit "Zahl" zu werfen genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit "Wappen" zu werfen. Somit handelt es sich um einen Laplace Versuch.
• Bei einem Pferderennen treten 10 Reiter samt Pferde gegeneinander an. Da sich die Fähigkeiten der Teilnehmer voneinander unterschieden, ist die Chance auf einen Sieg bei jedem Teilnehmer verschieden. Somit haben wir kein Laplace Experiment.

An solche Aufgaben muss man Versuchen mit etwas gesunden Menschenverstand ran zu gehen. Hat man keinen Grund, das Eintreten irgendeines der Ergebnisse eines Zufallsexperiments für wahrscheinlicher als das der anderen Ergebnisse zu halten, so kann man erst einmal von einem Laplace Versuch ausgehen.

Berechnung von Laplace Versuchen

Durch Einsatz der Laplace Regel kann man nun die Wahrscheinlichkeit für ein Laplace Experiment berechnen. Die Wahrscheinlichkeit P(E) eines Ergebnisses berechnet sich nach der folgenden Formel:

Wir werfen einen sechsseitigen Würfel und möchten verschiedene Wahrscheinlichkeiten bei dem Versuch berechnen:

• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, die Zahl 3 zu Würfeln?
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, entweder eine 1 oder 4 zu Würfeln?
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu Würfeln?

Wir wissen, dass der Würfel sechs gleiche Seiten hat. Somit können als Ergebnis beim Würfeln die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 geworfen werden. Die Anzahl der möglichen Ergebnisse beträgt somit "6". Kommen wir nun zu den drei Teilaufgaben:

• P({3}) = 1 : 6 = 0,1666...
• P({1, 4}) = 2 : 6 = 0,33333...
• P({2, 4, 6}) = 3 : 6 = 0,5
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Dennis Rudolph

Dennis Rudolph hat Mechatronik mit Schwerpunkt Automatisierungstechnik studiert. Neben seiner Arbeit als Ingenieur baute er frustfrei-lernen.de und weitere Lernportale auf. Er ist zudem mit Lernkanälen auf Youtube vertreten und an der Börse aktiv. Mehr über Dennis Rudolph lesen .

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Mathe, 8. Klasse

Laplace-experimente.

Arbeitsblätter mit Übungen und Aufgaben zum Thema Laplace-Experimente für Mathe in der 8. Klasse am Gymnasium - mit Lösungen!

Was ist ein Zufallsexperiment?

Experiment, deren Ergebnis zufällig passieren, also nicht vorhersagbar sind, nennt man Zufallsexperimente. Beispiele hierfür sind das Werfen eines Würfels oder einer Münze. Alle möglichen Ergebnisse eines solchen Zufallsexperimentes fasst man in der Ergebnismenge Ω zusammen.

Erkennungsmerkmale eines Zufallsexperimentes sind:

• Es wird genau ein Ergebnis von mehreren möglichen Ergebnissen eintreten.
• Es lässt sich nicht vorhersagen, welches davon eintreten wird.  

Die möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments lassen sich durch ein Baumdiagramm übersichtlich darstellen.

Was ist der Unterschied zwischen Ergebnis und Ereignis?

Werden verschiedene Ergebnisse eines Experiments zusammengefasst, so erhält man ein Ereignis E . Alle Ergebnisse, die zum Ereignis E gehören, nennt man dann günstige Ergebnisse . Zum Beispiel kann man beim Werfen eines Würfels das Ereignis E „nur gerade Zahlen“ betrachten: E = {2, 4, 6}. Die Ergebnisse 2, 4 und 6 sind dann für das Ereignis E günstige Ergebnisse.

Wie kombiniert man verschiedene Ereignisse?

Sollen zwei Ereignisse E1 und E2 gleichzeitig eintreten, so schreibt man E1 ∩ E2 („E1 geschnitten mit E2“). Sollen Ereignis E1 oder E2 oder beide eintreten, so schreibt man E1 ∪ E2 („E1 vereinigt mit E2“).

Dies kann man sehr anschaulich bildlich mit einem Mengendiagramm darstellen:

Welche Spezialfälle gibt es für Ereignisse?

• Ein Ereignis, für das alle Ergebnisse günstig sind, heißt sicheres Ereignis .
• Ein Ereignis, welches nicht eintreten kann, heißt unmögliches Ereignis .
• Alle für ein Ereignis E ungünstigen Ergebnisse bilden das Gegenereignis E   von E.

Was sind relative und absolute Häufigkeit?

Man unterscheidet dabei die absolute von der relativen Häufigkeit von Ergebnissen. Die absolute Häufigkeit bezeichnet die Anzahl, wie oft ein Ergebnis eintritt. Die relative Häufigkeit beschreibt, wie oft ein Ergebnis im Verhältnis zur Gesamtzahl der Durchführungen des Experimentes auftritt. Sie wird oft in Prozent oder als Dezimalbruch angegeben:

Am Beispiel des 10-maligen Werfens eines Würfels lässt sich dies verdeutlichen:

Absolute Häufigkeit: Wie oft werfe ich dabei eine 6? Relative Häufigkeit: Wie oft werfe ich im Verhältnis zu 10 Würfen eine 6

Zu Erfassung des Zufallsexperimentes kann eine Strichliste verwendet werden. Diese sieht für das obige Experiment zum Beispiel so aus:

Was ist eine „Wahrscheinlichkeit“?

Bei Zufallsexperimenten kann man das genaue Ergebnis zwar nicht vorhersagen, aber man kann eine Wahrscheinlichkeit angeben, wie hoch die Chance ist, dass ein Ereignis eintritt.

Zum Beispiel erwartet man beim Werfen eines fairen Würfels, dass in ungefähr 1/6 aller Würfe die Augenzahl vier auftritt.

• Die Wahrscheinlichkeit ist eine Zahl zwischen 0 und 1, die oft in Prozent angegeben wird
• Eine Wahrscheinlichkeit von 0% bedeutet, dass ein Ergebnis nicht eintreten kann
• Eine Wahrscheinlichkeit von 100% bedeutet, dass ein Ergebnis sicher eintritt

Was besagt das Empirische Gesetz der großen Zahlen?

Wird ein Zufallsexperiment sehr oft wiederholt, stabilisieren sich für jedes Ergebnis die relativen Häufigkeiten auf einen bestimmten Wert. Man erwartet, dass dieser Wert nahe bei der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses liegt.

Was beschreibt das Zählprinzip beim Baumdiagramm?

Baumdiagramme helfen, Situationen übersichtlich darzustellen.

Das Zählprinzip besagt:

Die Gesamtzahl der verschiedenen Möglichkeiten entspricht dem Produkt der Anzahlen der verschiedenen Möglichkeiten in den einzelnen Stufen beim Baumdiagramm.

Beispiel: Auf einer Speisekarte gibt es 2 Vorspeisen, 3 Hauptspeisen und 3 Nachspeisen zur Auswahl. Wie viele verschiedene dreigängige Menüs lassen sich somit zusammenstellen?

Es gibt insgesamt 2·3·3 = 18 verschiedene Möglichkeiten!

Was ist ein Laplace-Experiment?

Zufallsexperimente, bei denen jedes Ergebnis gleich wahrscheinlich ist, nennt man Laplace-Experimente. Sind bei einem Laplace-Experiment n verschiedene Ergebnisse möglich, beträgt die Wahrscheinlichkeit für jedes einzelne Ergebnis1n.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E kann bei Laplace-Experimenten wie folgt berechnet werden:

• Begriffe wie Ergebnis, Ereignis, Zufallsexperiment, Wahrscheinlichkeit, Laplace-Experiment kennen
• Passende Baumdiagramme erstellen und interpretieren
• Wahrscheinlichkeiten berechnen
• Mit verschiedenen Diagrammen umgehen
• Anwendungsbeispiele für Zufallsexperimente verstehen und kennen
• Beispiele nennen und erläutern
• Baumdiagramme und Vierfeldertafeln erstellen
• Rechnungen mit Wahrscheinlichkeiten durchführen
• Säulendiagramme erstellen

Kostenlose Arbeitsblätter zu Laplace-Experimenten

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• Zufallsexperiment / Zufallsversuch

Was ein Zufallsexperiment bzw. ein Zufallsversuch, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

• Eine Erklärung , was man als Zufallsexperiment bezeichnet.
• Beispiele für Zufallsversuche (und was kein Zufallsexperiment ist).
• Aufgaben / Übungen damit ihr dies selbst üben könnt.
• Ein Video zu den Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
• Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Thema.

Tipp: Wir sehen uns gleich Grundlagen aus dem Bereich der Wahrscheinlichkeitsrechnung an. Viele Vorkenntnisse braucht ihr dazu nicht. Hilfreich ist es jedoch, wenn ihr ein bisschen mit Brüchen rechnen könnt. Wer damit Probleme hat sieht bitte in das Bruchrechnen rein.

Erklärung Zufallsexperiment

In der Mathematik versucht man in der Regel alles ganz genau auszurechnen. Die Fläche von einem Rechteck soll exakt berechnet werden oder die Geschwindigkeit eines Autos. Gerne lässt der Lehrer oder die Lehrerin etwas bis viele Stellen nach dem Komma berechnen. Aber nicht alles im Leben lässt sich exakt berechnen. Mehr noch: In vielen Fällen lässt sich eine genaue Vorhersage eines Ergebnisses gar nicht erreichen.

In diesen Fällen geht es darum zu berechnen, ob etwas eher eintreten kann oder vermutlich eher nicht. Man sagt dann, dass etwas wahrscheinlicher ist oder eher unwahrscheinlich. Ein wichtiger Begriff hierzu ist das Zufallsexperiment. Was versteht man darunter?

Eigenschaften Zufallsexperiment :

• Es gibt mehrere mögliche Ergebnisse.
• Das Experiment kann beliebig oft wiederholt werden.
• Zwei Ergebnisse können nicht gleichzeitig eintreten.
• Vor der Durchführung kann das Ergebnis nicht vorausgesagt werden.
• Die Regeln und Bedingungen werden während des Experiments nicht geändert.

Beispiele für Zufallsexperimente :

• Werfen einer Münze.
• Werfen eines Würfels.
• Drehen eines Glücksrades.
• Ziehen einer Karte (gemischter Stapel)

Kein Zufallsexperiment liegt hier vor :

• Messung der Gefriertemperatur von Wasser.
• Welches Datum welcher Wochentag ist.
• Welche Farben ein Regenbogen aufweist.
• Wie viele Seiten ein Buch hat.

Ein normaler Würfel hat 6 Seiten: Es kann damit 1, 2, 3, 4, 5 und 6 gewürfelt werden. Es gibt also 6 mögliche Ergebnisse. Die möglichen Ergebnisse kann man in einer Menge zusammenfassen, die man als Ergebnismenge bezeichnet. Interessiert man sich nur für ein Teil der Ergebnismenge - also beim Würfeln zum Beispiel nur die Zahlen 1, 2 und 3 - dann spricht man von einem Ereignis.

Beispiele Zufallsversuche

In diesem Abschnitt nehmen wir uns einen Zufallsversuch und erklären mit diesem verschiedene Begriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Beispiel 1: Münze werfen

Sehen wir uns einen Zufallsversuch bzw. ein Zufallsexperiment an. Dazu nehmen wir uns eine Münze. Werfen wir diese, kann dabei entweder Zahl oder Wappen rauskommen. Die nächste Grafik zeigt dies:

Manchmal wird eingewendet, dass die Münze auch auf der Seite landen kann. Dies kann jedoch nicht passieren, wenn die Münze nicht manipuliert ist und richtig geworden wird. Sie sollte sich dabei mehrfach in verschiedene Richtungen drehen.

Die Wahrscheinlichkeit Zahl zu werfen ist genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit Wappen zu werfeln. Haben alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit, spricht man von einem Laplace-Versuch oder Laplace-Experiment (Mehr dazu findet ihr unter Laplace-Versuch / Laplace-Experiment ).

Es gibt zwei mögliche Ereignisse beim Werfen der Münze: Zahl und Wappen. Die Ergebnismenge wird mit Omega (Ω) bezeichnet und enthält diese beiden Ereignisse:

Die Wahrscheinlichkeit Zahl oder Wappen zu würfeln beträgt jeweils 1/2. Es gibt zwei Möglichkeiten wie der Wurf ausgehen kann (daher die 2 im Nenner) und eine der beiden Möglichkeiten wird durch Wappen und die andere durch Zahl dargestellt.

Einstufiger Zufallsversuch :

Wir werfen die Münze jetzt 1 Mal. Dies nennt man einen einstufigen Zufallsversuch. Wir werden dadurch entweder Zahl oder Wappen als Ergebnis bekommen. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist jeweils 1/2. Wir kürzen dies im nächsten Diagramm mit Z für Zahl und W für Wappen ab.

Mehrstufiger Zufallsversuch :

Wir hatten eben die Münze einmal geworfen und dies als einstufiges Zufallsexperiment bezeichnet. Natürlich können wir die Münze im Anschluss noch ein zweites Mal werfen. Damit sind wir beim zweistufigen Zufallsversuch (oder auch mehrstufiger Zufallsversuch).

Beim ersten Wurf hätten wir Wappen (W) werfen können. Im Anschluss können wir wieder Zahl (Z) oder Wappen (W) werfen. Daher zeichnen wir an das Wappen (W) erneut Zahl (Z) oder Wappen (W) an. Beim ersten Wurf hätte jedoch auch Zahl (Z) kommen können. Im Anschluss - also beim zweiten Mal werfen - können ebenfalls Zahl (Z) oder Wappen (W) geworfen werden. Daher zeichnen wir auch hier beides an.

Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich nicht: Bei jedem weiteren Wurf ist die Wahrscheinlichkeit für Wappen wieder 1/2 und für Zahl ebenfalls wieder 1/2. Dies zeichnen wir in unser Baumdiagramm ein:

Aufgaben / Übungen Zufallsexperiment

Aufgabe 1 : Für ein Zufallsexperiment gilt folgende Eigenschaft: Das Experiment kann beliebig oft _______.

• ... neugeordnet werden
• ... gestört werden
• ... geändert werden
• ... wiederholt werden

Du hast 0 von 7 Aufgaben erfolgreich gelöst.

Video Zufallsversuche

Beispiele und erklärungen.

Im nächsten Video werden die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung besprochen. Dabei wird zunächst erklärt, was ein Zufallsversuch überhaupt ist und es werden Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung besprochen. Im Anschluss geht es um einstufige und mehrstufige Zufallsversuche sowie das Baumdiagramm.

Fragen mit Antworten Zufallsversuch

In diesem Abschnitt geht es um typische Fragen mit Antworten zu Zufallsexperimenten.

F: Wo finde ich schwierigere Aufgaben zu Zufallsversuchen und Baumdiagrammen?

A: Die weiter oben gezeigten Inhalte sind nur absolutes Grundwissen aus dem Bereich der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Wir sehen uns weitere - auch schwerere Aufgaben - in den nächsten Artikeln an. Zu mehrstufigen Zufallsexperimenten mit schwierigeren Beispielen gibt es eigene Inhalte.

• Absolute / relative Häufigkeit
• Wahrscheinlichkeit
• Ereignis und Gegenereignis
• Laplace-Experiment / Laplace-Versuch
• Zweistufige / Mehrstufige Zufallsversuche
• Durchschnitt / Mittelwert berechnen

F: Wann wird das Thema Zufallsexperiment in der Schule behandelt?

A: Absolute Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden oft schon in der Grundschule oder 5. Klasse besprochen. Eine Definition für Zufallsversuch oder andere Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung folgen jedoch meistens erst ab der 6. Klasse oder 7. Klasse.

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Laplace-Experiment

Laplace-experiment definition.

Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment , bei dem

• es nur eine endliche Zahl von Versuchsausgängen (sogenannte Elementarereignisse) des Experiments gibt und
• alle Ausgänge gleich wahrscheinlich sind (zum Beispiel Würfeln, Münzwurf, Roulette).

Voraussetzung für die gleichmäßige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, dass die Münze, der Würfel, der Roulettekessel und so weiter "in Ordnung" sind, das heißt zum Beispiel, dass die Form des Würfels und auch die Gewichtsverteilung gleichmäßig ist.

Man spricht dann von einer Laplace-Münze , einem Laplace-Würfel und so weiter.

Alternative Begriffe : Laplace-Versuch.

Beispiel: Laplace-Experiment

Das Werfen einer Münze (mit den gleichwahrscheinlichen Elementarereignissen "Kopf" oder "Zahl") oder das Werfen eines Würfels (mit den gleichwahrscheinlichen Elementarereignissen 1, 2, 3, 4, 5, 6) sind Laplace-Experimente.

Diese werden als einstufige Laplace-Experimente bezeichnet (im Gegensatz zum mehrmaligen Wurf).

Beispiel: kein Laplace-Experiment

Sind die möglichen Elementarereignisse nicht gleich wahrscheinlich, liegt kein Laplace-Experiment vor.

Ein Glücksrad ist nur dann ein Laplace-Experiment, wenn seine Flächen ("Kuchenstücke"), die jeweils unterschiedliche Ergebnisse abbilden, gleich groß sind.

Stehen zum Beispiel 2/3 der Fläche für "Niete" und 1/3 der Fläche für "10 € Gewinn", ist das kein Laplace-Experiment, da Niete doppelt so wahrscheinlich ist wie Gewinn.

(Sind die Flächen des Glücksrads hingegen gleich groß – wie bei einem Roulette-Kessel mit den 37 Zahlen 0 - 36 – liegt wiederum ein Laplace-Experiment vor.)

Laplace-Wahrscheinlichkeit

Die Laplace-Wahrscheinlichkeit lässt sich mit folgender Formel berechnen:

Laplace-Wahrscheinlichkeit = Anzahl der günstigen Ergebnisse / Anzahl der möglichen Ergebnisse.

Die Wahrscheinlichkeit für das Würfeln einer 5 ist gleich 1 / 6.

Die Wahrscheinlichkeit für das Würfeln einer geraden Augenzahl ist 3/6 = 1/2 (es gibt für "gerade Augenzahl" die 3 günstigen (passenden) Ergebnisse 2, 4 und 6 und 6 mögliche Ergebnisse).

Die Anzahl der möglichen Ereignisse ist im Würfelbeispiel offensichtlich, kann aber zum Beispiel beim Lotto oder bei Kartenspielen in die Millionen gehen; zur Berechnung gibt es die Kombinatorik -Formeln.

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Laplace experiment.

Ein Laplace Experiment ist ein Zufallsexperiment, welches n mögliche Ergebnisse hat, wobei die Wahrscheinlichkeit für jedes der n Ergebnisse gleich groß ist. 

Hier findest du folgende Inhalte

Einstufige zufallsexperimente und deren wahrscheinlichkeiten.

Ein Zufallsexperiment ist ein grundsätzlich beliebig oft wiederholbarer "Versuch", welcher unter identischen Bedingungen zu 2 oder mehreren nicht vorhersagbaren Ergebnissen führt. Dabei ist das zeitlich jeweils nächste Ergebnis unabhängig von den zeitlich vorhergehenden Ergebnissen.

Ergebnismenge  \(\Omega\)

Ein Ergebnis ist der spezifische Ausgang von einem Zufallsexperiment. Die Ergebnismenge, auch Ergebnisraum genannt, ist die Menge aller möglichen Ergebnisse A i eines Zufallsexperiments, die grundsätzlich auftreten können.

\(\Omega = \left\{ {{A_1},{A_2},...,{A_n}} \right\}\)

• Ergebnis eines einmaligen Würfelwurfs: "2 Augen"
• Die Menge aller möglichen Ergebnisse - also der Ergebnisraum \(\Omega\) - beim Würfeln ist \(\Omega = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\)
• Die Menge aller möglichen Ergebnisse - also der Ergebnisraum \(\Omega\) - beim Wurf einer Münze ist \(\Omega = \left\{ {{\rm{Kopf;Zahl}}} \right\}\)
• Die Menge aller möglichen Ergebnisse - also der Ergebnisraum \(\Omega\) - beim Würfeln mit 2 Würfeln ist \(\Omega = \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {1;2} \right);...;\left( {1;6} \right);\left( {2;1} \right);\left( {2;2} \right);....\left( {6;6} \right)} \right\}\)

Ereignismenge   \(P\left( \Omega \right)\)

Ereignismengen, auch Ereignisräume genannt, sind Teil mengen der Ergebnismenge. 

\(P\left( \Omega \right) = \left\{ {A\left| {A \subseteq \Omega } \right.} \right\}\)

Beispiel Würfel:

• Ergebnismenge: \(\Omega = \left\{ {{1},{2},...,{6}} \right\}\)
• Ereignismenge "nur" die gerade Augenzahl: \(\Omega = \left\{ {{2},{4},{6}} \right\}\)

Elementarereignis

Das Elementarereignis A i ist eine Teilmenge der Ergebnismenge \(\Omega\) mit genau einem Element .

\({A_i} \in \Omega\)

Zur Veranschaulichung: Wirft man einen Würfel, so umfasst die Ergebnismenge \(\Omega = \left\{ {1,2,3,4,5,6} \right\}\) genau 6 Elementarereignisse : 1 Auge, 2 Augen, 3 Augen, 4 Augen, 5 Augen, 6 Augen

Gegenereignis

Das Gegenereignis A‘ tritt genau dann ein, wenn das Ereignis A nicht eintritt. Alle Elemente des Ereignisses A und seines Gegenereignisses A‘ ergeben zusammen die Ergebnismenge \(\Omega\) . \(A' + A = \Omega\)

Die Verneinung vom Ereignis E heißt Gegenereignis \(\overline E \) . Für ein Ereignis E und sein Gegenereignis \(\overline E \) gilt folgender Zusammenhang: \(P\left( E \right) = 1 - P\left( {\overline E } \right)\)

​​​ Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit ist ein Maß dafür, wie wahrscheinlich der Eintritt eines Ereignisses ist. Bei der wiederholten Durchführung eines Zufallsexperiments tritt eine Abfolge von einzelnen Elementarereignissen A i auf. Man kann zwar nicht vorhersagen genau welches Elementarereignis als nächstes auftritt, aber man kann eine Aussage darüber machen, wie häufig ein bestimmtes Elementarereignis im Vergleich zu den anderen Elementarereignissen auftritt. Die Wahrscheinlichkeit nach Laplace P(A)=P(X=x) leitet sich aus der Häufigkeit eines bestimmten Elementarereignisses, im Verhältniss zur Häufigkeit aller Elementarereignisse ab.

Gleichwahrscheinlichkeit

Eine Gleichwahrscheinlichkeit liegt vor, wenn jedes der n Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit 1/n hat.

Unbedingte Wahrscheinlichkeit P(A)

Die unbedingte Wahrscheinlichkeit gibt an, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für den Eintritt eines Ereignisses ist, unabhängig von irgend welchen Vorbedingungen.

Beispiel: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass morgen in Wien die Temperatur 30° C überschreitet? Antwort: Nieder, weil es nur ca. 30 derartige Hitzetage pro Jahr gibt.

Bedingte Wahrscheinlichkeit P(B│A)

Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|A) ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von B, unter der Voraussetzung (Bedingung), dass bereits das Ereignis A eingetreten ist, also bei von einander stochastisch abhängigen Ereignissen

\(P\left( {{B}\left| {{A}} \right.} \right) = \dfrac{{P\left( {{A} \cap {B}} \right)}}{{P\left( {{A}} \right)}}\)

Obige Formel ist lediglich die umformulierte Multiplikationsregeln für Wahrscheinlichkeiten ("Und Regel").

Beispiel: Heute wird in Wien eine Temperatur von 35° C gemessen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass morgen in Wien die Temperatur 30° C überschreitet? Antwort: Hoch, da sich die Klimalage nur alle paar Tage verändert.

Gegenwahrscheinlichkeit

Die Gegenwahrscheinlichkeit vom Ereignis A ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis A nicht eintritt. Oft ist es einfacher die Gegenwahrscheinlichkeit von einem Ereignis auszurechnen und daraus die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses selbst zurückzurechnen.

\(\eqalign{ & P\left( {A'} \right) = 1 - P\left( A \right) \cr & P\left( A \right) = 1 - P\left( {A'} \right) \cr}\)

Anmerkung zur Notation:

\(P\left( {A'} \right) = P\left( {\neg A} \right)\)

Bernoulli Experiment

Ein Bernoulli Experiment ist ein Zufallsexperiment, welches

• genau 2 mögliche Ergebnisse hat: Treffer / Niete.
• Die Wahrscheinlichkeit p für einen Treffer oder für eine Niete muss aber keinesfalls 50:50 bzw. 0,5 sein. Die Formel für die Laplace Wahrscheinlichkeit ("günstige" durch "mögliche")  gilt auch für Bernoulli Experimente, da diese ja nur ein Sonderfall vom Laplace Experiment sind.

Beispiel: gerade und ungerade Tage im Jänner: Jeder Tag muss entweder gerade oder ungerade sein, aber es gibt im Jänner 15 gerade aber 16 ungerade Tage.

\(\eqalign{ & P\left( {X = {\text{gerader Tag}}} \right) = \dfrac{{15}}{{31}} \cr & P\left( {X = {\text{ungerader Tag}}} \right) = \dfrac{{16}}{{31}} \cr} \)

Gegenwahrscheinlichkeiten in einem Bernoulli Experiment

Wenn in einem Bernoulli Experiment p die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer ist, dann ist 1-p die Wahrscheinlichkeit für eine Niete, man nennt dies die Gegenwahrscheinlichkeit.

Ein Laplace Experiment ist ein Zufallsexperiment, welches n mögliche Ergebnisse hat, wobei die Wahrscheinlichkeit für jedes der n Ergebnisse gleich groß ist. Man spricht dann von der Laplace Wahrscheinlichkeit.

Beispiel für ein Laplace Experiment: Würfelwurf; Es gibt 6 mögliche Elementarereignisse, die die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. 1 Auge, 2 Augen, 3 Augen, 4 Augen, 5 Augen, 6 Augen

Laplace Wahrscheinlichkeit

Die Laplace Wahrscheinlichkeit P(E) gibt den relativen Anteil der „günstigen“ Versuchsausgänge zu den „möglichen“ Versuchsausgängen an. Sie ist also eine Maßzahl für die Chance, dass ein bestimmtes Ereignis E bei mehreren möglichen Ereignissen eintritt. Alle Elementarergebnisse / Ausgänge müssen die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit haben.

\(P\left( E \right) = \dfrac{{{\text{Anzahl der günstigen Fälle}}}}{{{\text{Anzahl der möglichen Fälle}}}}\)

wobei: \(0 \leqslant P\left( E \right) \leqslant 1{\text{ und }}P\left( 0 \right) = 0{\text{ sowie P}}\left( \Omega \right) = 1\)

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• Wahrscheinlichkeiten bestimmen bei Nicht-Laplace-Experimenten

Reißzweckenwurf

Es gibt Zufallsexperimente , deren Ausgänge nicht gleich wahrscheinlich sind. Nimm eine Reißzwecke und wirf sie auf den Boden. Wie du auf der Abbildung siehst, kann sie in zwei Positionen liegen bleiben. Diese Positionen heißen meistens Kopf und Seite .

Tom führt den Reißzweckenwurf sehr oft durch und trägt seine Ergebnisse in eine Tabelle ein.

Tom nimmt an, dass die relative Häufigkeit für das Zufallsexperiment eine gute Prognose für die Wahrscheinlichkeit der Ergebnisse „Kopf“ und „Seite“ ist. Aus der Tabelle folgt, dass die Ergebnisse nicht gleich wahrscheinlich sind. Solche Zufallsexperimente heißen Nicht-Laplace-Experimente .

Laplace-Experimente

Zufallsexperimente , bei denen alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, werden Laplace-Experimente genannt.

Reißzweckenwurf - Fortsetzung

Die im Zufallsexperiment ermittelten Wahrscheinlichkeiten p(E:„Kopf“) = 0,4 =40 % und p(F:„Seite“) = 0,6 = 60 % gelten nicht für alle Reißzwecken. Oft unterscheiden sich diese hinsichtlich ihrer Bauart. Daher kann die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Reißzwecke nur über sehr viele Würfe abgeschätzt werden.

Für Nicht-Laplace-Experimente gilt folgende Aussage:

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses entspricht ungefähr der relativen Häufigkeit dieses Ereignisses bei einer großen Zahl von Versuchen.

Trotz dieser Unbestimmtheit gelten auch für Nicht-Laplace-Experimente bestimmte Gesetze.

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments ist 1 (Summensatz). Sind die Ereignisse $$E$$ und $$bar E$$ eines Zufallsexperiments Gegenereignisse, so gilt p($$bar E$$) = 1 - p($$E$$) und p($$E$$) = 1 - p($$bar E$$).

Beipiel : Reißzweckenwurf Es gilt p(E:„Kopf“) + p(F:„Seite“) = 0,4 + 0,6 = 1. p(F:„Seite“) ist das Gegenereignis zu p(E:„Kopf“), daher gilt z.B. p(E:„Kopf“) = 1 - p(F:„Seite“) = 1 - 0,6 = 0,4

Der Lego-Achter

Du kennst sicher Legosteine. Mit solchen Steinen kannst du auch Zufallsexperimente durchführen. In der Tabelle sind die Ergebnisse zahlreicher Wurfexperimente für den Lego-Achter dargestellt.

Das Wurfexperiment mit dem Lego-Achter ist ein Nicht-Laplace-Experiment . Du erkennst das daran, dass die Ergebnisse nicht gleich wahrscheinlich sind. Du kannst aber mit den Wahrscheinlichkeiten arbeiten: p(E:„ungerade Zahl“) = 0,1 + 0,47 + 0,005 = 0,575 = 57,5 % p(F:„gerade Zahl“) = 0,005 + 0,32 + 0,1 = 0,425 = 42,5 % p(E) + p(F) = 0,575 + 0,425 = 1 = 100 % p(G:„5 oder 6“) = 0,005 + 0,1 = 0,105 = 10,5 %.

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Umfragen in der Bevölkerung können als Zufallsexperimente aufgefasst werden. Dabei handelt es sich auch um Nicht-Laplace-Experimente .

Bei einer Befragung zum Bau eines neuen Flughafens in A-Stadt haben sich die befragten Personen so entschieden, wie es in der Abbildung dargestellt ist (A: Zustimmung, B: Ablehnung, C: keine Meinung, D : sonstiges).

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte befragte Person „Zustimmung“ äußerte? Antwort : Die Wahrscheinlichkeit beträgt 25 %. 2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig befragte Person „weder Zustimmung noch Ablehnung“ äußerte? Antwort : Es wird mit Hilfe der Gegenwahrscheinlichkeit berechnet: p(„weder A noch B“) = 1 - [p(A) + p(B)] = 1 - [25% + 50%] = 1 - 75 % = 25 %.

• Wahrscheinlichkeiten bestimmen bei einstufigen Zufallsexperimenten
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Laplace-Experiment

Zufallsexperimente , bei denen alle Ergebnisse gleichwahrscheinlich sind, nennt man Laplace-Experimente .

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet man bei einem Laplace-Experiment mit der Formel:

$|E| ...$ Anzahl der Ergebnisse bei denen $E$ eintritt $|\Omega| ...$ Gesamtanzahl der Ergebnisse

Beispiele für Laplace-Experimente sind das Werfen einer Münze, eines Würfels oder das Drehen eines Glücksrades mit gleich großen Feldern.

Ein Würfel wird geworfen. Dabei interessiert einen die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Augenzahl.

Ergebnisraum : $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ Ereignis : $E=\{2, 4, 6\}$ Wahrscheinlichkeit: $P(E) = \frac{|E|}{|\Omega|}$ $=\frac{3}{6}$

Nicht-Laplace-Experiment

Bei Nicht-Laplace-Experimenten lassen sich die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen möglichen Ergebnisse nicht durch z.B. Symmetrieüberlegungen oder ähnliches bestimmen. Nach vielen Durchführungen eines Experimentes kann man jedoch Schätzwerte für die Wahrscheinlichkeiten bestimmen.

Beispiele für Nicht-Laplace-Experimente sind das Werfen von Reißnägeln, eines LEGO-Steins oder eines Kronkorkens. Es ist nicht genau möglich zu sagen, welches Ereignis mit welcher Wahrscheinlichkeit auftritt.

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