wann liegt ein bernoulli experiment vor

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• Bernoulli Experiment

Josh dreht bei einer Aktion eines Bekleidungsgeschäfts einmalig an einem Glücksrad. Das Glücksrad hat 8 Felder mit jeweils gleicher Größe. Auf einem Feld liegt der Hauptgewinn, und zwar ein Rabattcode von 30 % auf alle Waren. 

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Bernoulli-Experiment, oder nicht?

Josh möchte genau die Ziffer 3 würfeln.

Ein Bernoulli-Experiment besteht aus mehreren Durchgängen.

Was sind die Merkmale einer Bernoulli-Kette?

Ein Bernoulli-Experiment ist das gleiche wie eine Bernoulli-Kette.

Ist das Bernoulli-Experiment ein Zufallsexperiment?

Ist Folgendes ein Bernoulli-Experiment oder nicht?

Josh würfelt 10-mal und summiert die Augenzahlen.

Was sind die Merkmale eines Bernoulli-Experiments?

Beim Roulette wird auf ungerade Zahlen gesetzt.

Handelt es sich hier um ein Bernoulli-Experiment oder nicht?

Was ist eine Binominal-Kette?

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Bei diesem Dreh handelt es sich um ein sogenanntes Bernoulli-Experiment . Was das ist und was es mit Josh's Gewinnchancen zu tun hat, erfährst Du in dieser Erklärung!

Wahrscheinlichkeitsverteilung – Bernoulli-Experiment

Ein Element der Wahrscheinlichkeitsverteilung sind sogenannten Zufälle . So was kennst Du bestimmt auch! Zufälle sind beispielsweise, wenn ein Freund und Du genau das gleiche Shirt anzieht, ohne sich vorher abzusprechen. In der Mathematik werden Zufälle durch Modelle dargestellt. Diese Modelle werden Zufallsexperimente genannt. Ein Element der Wahrscheinlichkeitsverteilung ist das Bernoulli-Experiment .

Falls auf dem Gebiet noch Unklarheiten herrschen, schau doch mal bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung vorbei.

Bernoulli-Experiment – Definition

Und was genau ist ein Bernoulli-Experiment? Bernoulli-Experimente sind unter anderem:

• Das Werfen einer Münze mit dem Ziel Kopf/Zahl zu werfen
• Das Werfen eines Würfels mit dem Ziel eine bestimmte Ziffer zu würfeln
• Das Spielen von Roulette

Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment , das genau zwei Ereignisse als Ergebnis hat. Diese zwei Ergebnisse werden allgemein als "Treffer" und "Niete" genannt. Die Ergebnismenge sieht also so aus:

Ω = { A ; A } = { T r e f f e r ; N i e t e }

Das gilt also für jedes Zufallsexperiment , das genau zwei mögliche Versuchsausgänge hat.

Bernoulli-Experiment – Merkmale & Bedingungen

Zusammengefasst sind die Bedingungen und Merkmale für ein Bernoulli-Experiment folgende:

• Das Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment
• Bei einem Bernoulli-Experiment gibt es zwei Ausgänge ("Treffer" oder "Niete")

Das Besondere an einem Bernoulli-Experiment ist also, dass es immer nur zwei Ausgänge für das Experiment gibt.

Schau Dir dazu Josh's Dreh am Glücksrad an. Josh möchte natürlich den Hauptgewinn drehen. Wenn das Glücksrad also bei dem Feld mit den 30 % anhält, dann hat Josh gewonnen. Dieses Ergebnis wäre der "Treffer". Wenn das Glücksrad jedoch auf den 7 anderen Felder stehen bleibt, dann würde Josh den Hauptgewinn nicht erhalten. Das wäre dann die "Niete".

Sind diese Merkmale und Bedingungen bei einem Zufallsexperiment erfüllt, handelt es sich um ein Bernoulli-Experiment.

Bernoulli-Experiment – Formel

Wahrscheinlichkeiten können in der Mathematik durch Werte dargestellt werden. Das ist auch bei Bernoulli-Experimenten möglich. Bei einem Bernoulli-Experiment kannst Du die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer und für eine Niete angeben. Die Wahrscheinlichkeit einer Niete wird auch allgemein als Gegenwahrscheinlichkeit bezeichnet.

Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer wird als p bezeichnet und die Gegenwahrscheinlichkeit als q = 1 - p .

Die Wahrscheinlichkeit variiert je nach Zufallsexperiment. Werden die Wahrscheinlichkeit und Gegenwahrscheinlichkeit addiert, dann ergibt das immer: p + q = 1 , denn in der Wahrscheinlichkeitsrechnung gibt es nicht mehr als 100 % , also ein Ganzes.

Bernoulli-Experiment – Beispiele

Schau Dir diese Wahrscheinlichkeiten gerne anhand des Glücksrads an.

Das Glücksrad hat insgesamt 8 gleich große Felder. Das bedeutet, die Wahrscheinlichkeit, dass das Glücksrad auf genau einem bestimmten Feld landet, beträgt 1 8 . Also ist die Wahrscheinlichkeit, dass Josh den Hauptgewinn (Treffer) dreht folgende:

Die Gegenwahrscheinlichkeit (Niete) erhältst Du, indem Du p von 1 abziehst:

q = 1 - p = 1 - 1 8 = 7 8

Die Wahrscheinlichkeit, dass Josh nicht gewinnt, liegt bei q = 7 8 . Diese Werte kannst Du auch in Prozent umrechnen, um die Wahrscheinlichkeiten besser zu veranschaulichen.

p = 1 8 = 0 , 125 ⇒ 12 , 5 % q = 7 8 = 0 , 875 ⇒ 87 , 5 %

Josh dreht den Hauptgewinn mit einer Wahrscheinlichkeit von 12 , 5 % .

Wird dieses Experiment öfter wiederholt, dann handelt es sich um eine Bernoulli-Kette .

Bernoulli-Kette und Binomialverteilung

Wenn ein Zufallsexperiment, das den Bedingungen und Merkmalen eines Bernoulli-Experiments entspricht, eine bestimmte Anzahl n wiederholt wird und die Trefferwahrscheinlichkeit p dabei immer gleich bleibt, handelt es sich um eine Bernoulli-Kette . Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt und beschreibt die Anzahl X an Treffern. Die Formel, die eine Bernoulli-Kette beschreibt, lautet so:

P ( X = k ) = n k · p k · ( 1 - p ) n - k

Und was bedeuten diese ganzen Variablen?

• X ist eine binomialverteilte Zufallsgröße
• k beschreibt die Anzahl an Treffern
• n beschreibt die Anzahl an Versuchen
• p beschreibt die Trefferwahrscheinlichkeit

Möchtest Du Dir die Bernoulli-Kette und die Binomialverteilung genauer anschauen? Dann klick Dich gerne in die Erklärungen "Bernoulli-Kette" und "Binomialverteilung" rein.

Und wie sähe das bei Josh aus?

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Josh von 20 Drehungen am Glücksrad genau 5-mal den Hauptgewinn dreht.

Lösung

Die Anzahl an Versuchen ist in diesem Fall n = 20 . Davon soll Josh genau 5-mal einen Treffer erzielen. Das bedeutet k = 5 . Die Trefferwahrscheinlichkeit p = 1 8 und bleibt in jeder Durchführung des Versuchs gleich. Setze die Werte in die Formel ein:

P ( X = 5 ) = 20 5 · 1 8 5 · 1 - 1 8 20 - 5

Und löse auf:

P ( X = 5 ) = 20 5 · 1 8 5 · 7 8 15 ≈ 15504 · 0 , 0000305 · 0 , 135 ≈ 0 , 064

Die Wahrscheinlichkeit, dass Josh von 20-mal Drehen genau 5-mal den Hauptgewinn dreht, beträgt 6 , 4 % .

Bernoulli-Kette mindestens

Bei einer Bernoulli-Kette lässt sich die sogenannte Mindestwahrscheinlichkeit berechnen. Ein Beispiel für die Mindestwahrscheinlichkeit ist die 3-mal mindestens Aufgabe. Schau Dir dazu gerne die Erklärung "Dreimal mindestens Aufgaben" an.

Bernoulli-Experiment – Erwartungswert

Der Erwartungswert gibt allgemein an, welchen Wert die Zufallsvariable X bei mehrfach wiederholten Zufallsexperimenten im Durchschnitt annimmt. Wird das Bernoulli-Experiment jedoch einmalig durchgeführt, dann kann so direkt kein Mittel oder Durchschnitt ermittelt werden.

Der Erwartungswert E ( X ) eines Bernoulli-Experiments entspricht der Wahrscheinlichkeit p .

E ( X ) = p

Das bedeutet, dass Du den Erwartungswert für ein Bernoulli-Experiment gar nicht erst berechnen musst.

Emma möchte bei einem Wurf von zwei Würfeln genau die Augensumme 9 werfen. Ermittle die Wahrscheinlichkeit, Gegenwahrscheinlichkeit und den Erwartungswert.

Strukturiere das Experiment in Treffer und Niete. Der Treffer ist in diesem Fall, wenn Emma mit zwei Würfeln genau die Augensumme 9 würfelt. Die Nieten sind hier alle Augensummen, die nicht 9 ergeben. Und welche Augenzahlen müssen die beiden Würfel haben, dass insgesamt 9 rauskommt?

Das bedeutet, Emma muss entweder eine 6 und eine 3 würfeln oder eine 5 und eine 4. Eine bestimmte Augenzahl zu werfen, hat allgemein die Wahrscheinlichkeit von p = 1 6 . Weil Emma in beiden Fällen zwei bestimmte Augenzahlen werfen muss, um auf die Augensumme 9 zu kommen, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, eine 6 und eine 3 oder eine 4 und eine 5 zu werfen 1 6 · 1 6 + 1 6 · 1 6 = 2 36 = 1 18 . Dabei ist dann aber noch zu beachten, dass Emma auch eine 3 und eine 6 oder eine 5 und eine 4 werfen könnte, also 1 6 · 1 6 + 1 6 · 1 6 = 1 18 .

Wie Du darauf kommst, kannst Du in den Artikeln "1. Pfadregel - Das Produkt von Wahrscheinlichkeiten" und "2. Pfadregel - Die Summe von Wahrscheinlichkeiten" nachlesen.

Das bedeutet, es gibt jeweils zwei Reihenfolgen, in denen diese Augenzahlen geworfen werden können. Das beziehst Du dann so in die Rechnung ein:

p = 2 · 1 6 · 1 6 + 2 · 1 6 · 1 6 = 2 · 1 36 + 2 · 1 36 = 1 18 + 1 18 = 1 9 ≈ 0 , 1111

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme genau 9 ergibt, ist p = 0 , 1111 oder 11 , 11 % .

Um die Gegenwahrscheinlichkeit zu berechnen, ziehst Du die Wahrscheinlichkeit von 1 ab.

id="3051596" role="math" q = 1 - p = 1 - 0 , 1111 = 0 , 8889

Die Gegenwahrscheinlichkeit beträgt q = 0 , 8889 oder 88 , 89 % .

Weil der Erwartungswert der Wahrscheinlichkeit entspricht, musst Du das gar nicht berechnen.

E ( X ) = 0 , 1111

Der Erwartungswert beträgt E ( X ) = 0 , 1111 .

Bernoulli-Experiment – Aufgaben

Jetzt weißt Du, wie Du die einzelnen Elemente von Bernoulli-Experimenten berechnest. Bist Du bereit für ein paar Übungsaufgaben?

Josh und Emma spielen eine Runde Roulette. Das Rouletterad besteht aus 37 Feldern. Die Felder 1-36 sind abwechselnd schwarz und rot und das Feld 0 ist grün. Beim Roulette kann auf bestimmte Chancen gesetzt werden.

• Josh und Emma setzten 20 € auf die Farbe Rot. Landet die Kugel auf dem roten Feld, verdoppelt sich der Einsatz. Gebe die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer an.
• Die beiden setzen 5 € auf ein "Dutzend", und zwar auf die Zahlen 13-24. Gib die Wahrscheinlichkeit für eine Niete an.

1. Es gibt insgesamt 37 Felder. Davon sind 18 Felder rot. Das bedeutet, die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer beträgt:

p = 18 37 ≈ 0 , 49

Josh und Emma verdoppeln ihren Einsatz also zu 49 % .

2. Die Zahlen 13-24 nehmen insgesamt 12 Felder ein. Die Wahrscheinlichkeit für eine Niete ist:

q = 1 - p = 1 - 12 37 = 25 37 ≈ 0 , 68

Josh und Emma verlieren ihren Einsatz also zu 68 % .

Bernoulli-Experiment – Das Wichtigste

• Es gibt nur zwei mögliche Ausgänge bei einem Bernoulli-Experiment
• Diese Ausgänge werden allgemein "Treffer" und "Niete" genannt
• Es gibt eine Trefferw ahrscheinlichkeit p und die Gegenwahrscheinlichkeit q = 1 - p
• Werden die Wahrscheinlichkeiten addiert, ist das Ergebnis 1
• Wird ein Bernoulli-Experiment n-Mal durchgeführt, wird dies Bernoulli-Kette genannt
• Um die Wahrscheinlichkeit der Anzahl an k Treffern in einer Bernoulli-Kette zu berechnen (dieser Sachverhalt wird Binomialverteilung genannt), dient die Formel P ( X = k ) = n k · p k · ( 1 - p ) n - k
• Dorn et al. (2009). Gymnasium – Tafelwerk. Ernst Klett Verlag.
• Becker et al. (2015). Duden – Formeln und Werte. Cornelsen Verlag.

Karteikarten in Bernoulli Experiment 9

Eine Bernoulli-Kette sind mehrere aufeinanderfolgende Bernoulli-Experimente.

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Bernoulli Experiment

Was zeichnet ein Bernoulli-Experiment aus?

Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment, das genau zwei Ergebnisse hat. Diese werden allgemein "Treffer" und "Niete" genannt. Das Bernoulli-Experiment wird einmal durchgeführt.

Kann aus einer Bernoulli-Kette ein Bernoulli-Experiment werden?

Eine Bernoulli-Kette ist ein Bernoulli-Experiment, das n-Mal hintereinander durchgeführt wird. Die Wahrscheinlichkeiten der Experimente bleiben gleich und sind voneinander unabhängig.

Was sind die Bedingungen eines Bernoulli-Experiments?

Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment, das genau zwei mögliche Ergebnisse hat, und zwar einen "Treffer" oder eine "Niete". Das heißt, die Bedingung ist, dass ein Bernoulli-Experiment nur zwei mögliche Ergebnisse besitzen darf.

Was ist der Unterschied zwischen Bernoulli-Experiment und Binomialverteilung?

Die Binomialverteilung beschreibt, dass das Bernoulli-Experiment n-Mal wiederholt wurde. Das Bernoulli-Experiment allgemein ist ein einstufiges Zufallsexperiment.

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Bernoulli-Experiment, oder nicht?Josh möchte genau die Ziffer 3 würfeln.

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Bernoulli Experiment

Was ist der Bernoulli Experiment?

Ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ergebnissen (Treffer oder Niete) nennt man Bernoulli-Experiment.

Formel des Bernoulli-Experiments

In einer Bernoulli-Kette wird die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer bzw. für die 1 als p bezeichnet, wohingegen die Wahrscheinlichkeit eine Niete bzw. 0 als Ergebnis zu erhalten als q bezeichnet wird. Da nur die beiden Zustände vorkommen können, ist die Wahrscheinlichkeit für eine Niete die von 1 (also der Sicherheit) übriggebliebene Wahrscheinlichkeit, einen Treffer zu erhalten. Kurz: q = 1 – p oder p = 1 – q . Die Wahrscheinlichkeit p bzw. q ist eine Zahl zwischen 0 und 1 mit 0 ≤ p ≤ 1 . 

Binomialkoeffizient

• Die zu einem n-stufigen Bernoulli-Versuch mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p gehörige Verteilung heißt Binomialverteilung mit den Parametern n und p. Die zugehörige Zufallsvariable X heißt binomialverteilt.
• Die Anzahl dieser Pfade kann man mit dem Binomialkoeffizienten ( nk ) bestimmen. Dieser gibt nämlich an, auf wie viele Arten man die k Erfolge auf die n Stufen der Bernoulli-Kette verteilen kann.

Kann man den Versuch widerholen?

Ja! Man nennt es auch Wiederholte der Bernoulli-Experimente

Wo kommt das Bernoulli Experiment vor?

Einige Aufgaben, bei denen es sich um einen Bernoulli-Prozess handelt:

• Ziehen mit Zurücklegen

Unser Lernvideo zu : Bernoulli Experiment

Ein Würfel wird n=5 mal geworfen. Als Erfolg werten wir die Augenzahl 6. Wie viele Pfade mit k=3 Erfolgen gibt es im Ergebnisbaum?

Es gibt bei diesem Versuch also insgesamt 10 Pfade, die jeweils 3 Erfolge beinhalten.

• Ein Bernoulli-Experiment kann als Resultat nur die Ergebnisse 0 oder 1 bzw. Treffer oder Niete besitzen
• Wird ein Bernoulli-Experiment öfter wiederholt, so spricht man von einem Bernoulli-Prozess oder Bernoulli-Kette
• Die Bernoulli-Verteilung ist ein Spezialfall der Binominalverteilung mit n=1.
• Wiederholt man also ein Bernoulli-Experiment öfter und betrachtet alle Ergebnisse, so sind diese binomialverteilt.
• p  ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt;

n  ist die Anzahl der Versuche (auch Länge der Bernoulli-Kette genannt);

k  ist die Anzahl der Treffer, die wir erzielen wollen;

P ( X = k ) sagt, dass wir die Wahrscheinlichkeit für genau  k  Treffer errechnen wollen.

⇒P ( X  =  k ) [„genau“],

⇒P ( X  ≤  k ) [„höchstens“] und

⇒P ( X  ≥  k ) [„mindestens“]

• ← Tupel
• Bedingte Wahrscheinlichkeit →

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Laplace regel, wahrscheinlichkeitsrechnung grundlagen, mehrstufige zufallsexperimente.

Bernoulli-Experiment

Ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ergebnissen ( Treffer oder Niete ) nennt man Bernoulli-Experiment .

In der Praxis, kann ein Bernoulli-Experiment als ein Experiment mit zwei Ergebnissen verstanden werden. Die Ereignisse können als Ja- und Nein-Fragen formuliert werden:

• Ist die Münze mit dem Kopf nach oben gelandet?
• Ist beim Würfel die Sechs gefallen?
• War das Neugeborene ein Junge?

Ein Experiment, dass nur zwei mögliche Ergebnisse (Treffer oder Niete) hat, heißt Bernoulli-Experiment . Wenn p die Wahrscheinlichkeit eines Treffers ist, ist 1- p die Gegenwahrscheinlichkeit .

Wenn ein Bernoulli-Experiment mehrmals ( n -mal) durchgeführt wird, spricht man von einem n -stufigen Bernoulli-Experiment oder einer Bernoulli-Kette der Länge n . Die Wahrscheinlichkeit k Treffer zu erzielen ist:

Deshalb sind Erfolg und Misserfolg oder Treffer und Niete lediglich Bezeichnungen für die Ergebnisse, und sollte nicht wörtlich verstanden werden. Beispiele für Bernoulli-Versuchen sind:

• Das Werfen einer Münze. In diesem Zusammenhang würde man es als Treffer bezeichnen wenn man Kopf hätte und als Niete bei Zahl (oder auch andersherum). Eine faire Münze hat die Wahrscheinlichkeit von 0,5 oder 50% per Definition.
• Das Werfen eines Würfels. Eine sechs wäre ein Treffer, alle anderen Zahlen Nieten.
• Bei der Durchführung einer politischen Meinungsumfrage. Die Wahl eines Wählers erfolgt zufällig. Festgestellt werden soll, ob der Wähler mit „Ja“ oder mit „Nein“ abgestimmt hat, wobei ein „Ja“ einen Treffer darstellen würde und ein „Nein“ eine Niete.

Ein Würfel wird zehn Mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass aus den zehn Würfen genau zwei Mal die Zahl 6 geworfen wird?

Wir führen ein Bernoulli-Experiment der Länge 10 durch, wobei die Wahrscheinlichkeit eines Treffers 1 / 6 ist und k =2. Damit wäre die Wahrscheinlichkeit:

Bernoulli-Rechner

Mit dem Rechner können genaue Werte für das Bernoulli-Experiment berechnet werden. Berechnet wird

• P ( X = k ) [„genau“],
• P ( X ≤ k ) [„höchstens“] und
• P ( X ≥ k ) [„mindestens“].
• Verteilungsfunktion (PDF)
• untere kumulative Verteilungsfunktion (CDF)
• obere kumulative Verteilungsfunktion

$$ \large P(X=k) \,=\, f(k;\, n,\, p) \,=\, {n\choose k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k} $$

Berechnungsergebnis

$$ \large F(k;\, n,\, p) \,=\, P(X \le k) \,=\, \sum_{i=0}^{\lfloor k \rfloor} {n\choose i}\cdot p^i\cdot (1-p)^{n-i} $$

$$ \large P(X \ge k) \,=\, \sum_{i=\lfloor k \rfloor}^{n} {n\choose i}\cdot p^i\cdot (1-p)^{n-i} $$

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W.14.01 | Bernoulli-Experiment

Ein Bernoulli-Experiment (= Bernoulli-Kette = Bernoulli-Verteilung) liegt vor, wenn es nur zwei mögliche Ausgänge für das Experiment gibt und die Wahrscheinlichkeit sich nie ändert. Damit sind sehr, sehr viele Aufgaben der Wahrscheinlichkeit Bernoulli-Experimente!

Rechenbeispiele: W.14.01 | Bernoulli-Experiment

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Bernoulli-Experiment

Bernoulli-experiment definition.

Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment, das lediglich 2 Ergebnisse haben kann:

• ein positives Ergebnis ("Erfolg", "Ja", "Treffer") und
• ein negatives Ergebnis ("Mißerfolg", "Nein", "Niete").

Die Begriffe "positives Ergebnis" / "Erfolg" sind etwas missverständlich; sie bedeuten nicht, dass das Ergebnis wirklich etwas gutes ist, sondern beziehen sich auf das Ereignis, für das man sich interessiert; insofern kann auch der Befund "defekt" in der Qualitätskontrolle als "Erfolg" definiert werden, da man sich dafür interessiert.

Ein Münzwurf kann nur die 2 Ergebnisse haben: Kopf oder Zahl (äußerst selten kommt die Münze auch auf der Seite auf – diesen außergewöhnlichen Fall ignorieren wir hier).

Auch den Wurf eines Würfels könnte man als Bernoulli-Versuch gestalten (obwohl eigentlich 6 Ergebnisse möglich sind). Dazu könnte man zum Beispiel die ungeraden Augenzahlen 1, 3 und 5 als "Erfolg" und die geraden Augenzahlen 2, 4 und 6 als "Mißerfolg" definieren; dann hat man wieder nur 2 mögliche Ergebnisse: "Ungerade Augenzahl" und "Gerade Augenzahl".

Bernoulli-Kette

Das Bernoulli-Experiment kann einmal (einstufiges Experiment) oder mehrmals (mehrstufiges Experiment; daraus ergibt sich die Binomialverteilung ) durchgeführt werden, in letzterem Fall liegt eine sogenannte Bernoulli-Kette vor.

Voraussetzung für die Bernoulli-Kette ist, dass bei jeder Wiederholung das Experiment unter den gleichen Voraussetzungen / Bedingungen abläuft.

Das heißt: hier muss "mit Zurücklegen" gespielt werden, da die Voraussetzungen sich sonst mit jedem Zug ändern würden; bei großen Grundgesamtheiten (zum Beispiel 1.000 produzierte Stück als Tagesproduktion) wird das nicht so streng gesehen, da es die Wahrscheinlichkeit nur geringfügig ändert, wenn man ein oder wenige Stück aus der Stichprobe nicht wieder zurücklegt).

Die Formel für die Bernoulli-Kette lautet:

P (X = k) = { n! / [ k! × (n - k)! ] } × p k × (1 - p) (n -k)

• P (X = k): die Wahrscheinlichkeit, genau k Erfolge zu erzielen
• n: Anzahl der Versuche
• p: Wahrscheinlichkeit für Erfolg
• (1 - p): Gegenwahrscheinlichkeit für Erfolg, also die Wahrscheinlichkeit für Misserfolg
• ! das Zeichen für Fakultät .

Alternative Begriffe : Bernoulli-Versuch.

Beispiel eines Bernoulli-Versuchs

Ein Würfel wird 6 mal geworfen.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 4 mal eine Zahl >= 5 kommt?

Es gibt also 2 mögliche Ergebnisse: >= 5 oder eben nicht >= 5 (bzw. <= 4).

Die Wahrscheinlichkeit für eine Zahl >= 5 ist 2/6 (die zwei Zahlen 5 und 6 aus den sechs möglichen Zahlen), die Gegenwahrscheinlichkeit ist dann 1 - 2/6 = 6/6 - 2/6 = 4/6.

Die Wahrscheinlichkeit für 4 mal "Zahl >= 5" bei 6-maligem Würfeln ist nach der obigen Formel:

P (X = 4) = { 6! / [ 4! × (6 - 4)! ] } × 2/6 4 × 4/6 (6 -4)

= { (6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) / [ (4 × 3 × 2 × 1) × (2 × 1) ] } × 1/3 4 × 2/3 2

= 15 × 1/3 4 × 2/3 2 = 0,0823 (ca. 8,2 %).

Erläuterung

6 ist die Anzahl der Versuche und 4 die Anzahl der Erfolge.

2/6 (oder gekürzt 1/3) ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl >= 5 kommt, 2/6 × 2/6 ist die Wahrscheinlichkeit, dass zweimal eine Zahl >= 5 kommt und so weiter.

Und (2/6) 4 ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass viermal eine Zahl >= 5 kommt; analog ist die Wahrscheinlichkeit, dass zweimal die Zahl nicht >= 5 ist gleich 4/6 × 4/6 = (4/6) 2 .

Es gibt mehrere Möglichkeiten, in welcher Anordnung die Würfel 4 mal >= 5 und 2 mal <= 5 sein können, zum Beispiel die ersten 4 mal >= 5 und die letzten zweimal <= 5 oder die ersten 3 mal >= 5, dann zweimal <=5 und dann beim 6. Wurf wieder >= 5, und so weiter.

Die Anzahl der Möglichkeiten ist durch den Term { 6! / [ 4! × (6 - 4)! ] } = 15 bestimmt; der Term entspricht dem Binomialkoeffizienten B (6 über 4).

Bernoulli-Experimente und Verteilungen

Bei einem Bernoulli-Versuch interessieren verschiedene Fragestellungen; aus denen ergeben sich die entsprechenden Verteilungen:

• Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Anzahl von Erfolgen bei einer bestimmten Anzahl von Versuchen (zum Beispiel geht es 70 von 100 behandelten Patienten besser?) — Binomialverteilung ;
• Wie lange dauert es bis zum ersten Erfolg (zum Beispiel bis man eine 6 würfelt bei einem Brettspiel)? — Geometrische Verteilung ;
• Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine bestimmte Anzahl aus einer Ziehung ein "Erfolg / Treffer" ist? (zum Beispiel dass genau ein Teil defekt ist bei einer gezogenen Stichprobe von 10 Teilen "ohne Zurücklegen") — Hypergeometrische Verteilung .
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Bernoulli-Experiment

Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Versuchsausgängen (= Ergebnissen).

Für ein Bernoulli-Experiment wird eine Bernoulli-verteilte Zufallsvariable X X X betrachtet. Diese Zufallsvariable lässt nur zwei mögliche Ereignisse (z. B. „ja“/„nein“, „infiziert“/„nicht infiziert“) mit den Wahrscheinlichkeiten p p p und q : = 1 − p q:=1-p q := 1 − p zu.

Benannt ist das Bernoulli-Experiment nach dem Schweizer Mathematiker Jakob I. Bernoulli (gest. 1705).

Münzwurf: P ( „Kopf“ ) = 0 , 5 : = p P(\text{„Kopf“})=0{,}5:=p P ( „Kopf“ ) = 0 , 5 := p P ( „Zahl“ ) = 0 , 5 = 1 − p . P(\text{„Zahl“})=0{,}5=1-p. P ( „Zahl“ ) = 0 , 5 = 1 − p . Man kann auch P ( „Zahl“ ) P(\text{„Zahl“}) P ( „Zahl“ ) als p p p definieren.

Maschinen testen: P ( „Maschine funktioniert“ ) : = p P(\text{„Maschine funktioniert“}):=p P ( „Maschine funktioniert“ ) := p P ( „Maschine funktioniert nicht“ ) = 1 − p P(\text{„Maschine funktioniert nicht“})=1-p P ( „Maschine funktioniert nicht“ ) = 1 − p .

Würfel: P ( „Die 6 f a ¨ llt“ ) : = p = 1 6 P(\text{„Die 6 fällt“}):=p=\frac16 P ( „Die 6 f a ¨ llt“ ) := p = 6 1 ​ P ( „Die 6 f a ¨ llt nicht“ ) = 1 − p = 5 6 P(\text{„Die 6 fällt nicht“})=1-p=\frac56 P ( „Die 6 f a ¨ llt nicht“ ) = 1 − p = 6 5 ​

Bernoulli-Verteilung

Für eine Bernoulli-verteilte Zufallsvariable X X X mit Eintrittswahrscheinlichkeit p p p gilt

Ω = { 0 ; 1 } , \mathit\Omega=\left\{0;1\right\}, Ω = { 0 ; 1 } ,

P ( X = 1 ) = p ;             P ( X = 0 ) = 1 − p P(X=1)=p;\;\;\;\;P(X=0)=1-p P ( X = 1 ) = p ; P ( X = 0 ) = 1 − p

Erwartungswert

Für den Erwartungswert der Bernoulli-verteilten Zufallsvariable X X X gilt

E ( X ) = 1 ⋅ p + 0 ⋅ ( 1 − p ) = p {E(X)=1\cdot p+0\cdot(1-p)=p} E ( X ) = 1 ⋅ p + 0 ⋅ ( 1 − p ) = p

Für die Varianz erhält man

V ( X ) = E ( ( X − E ( X ) ) 2 ) = E ( ( X − p ) 2 ) = E ( X 2 − 2 p X + p 2 ) = E ( X 2 ) − E ( 2 p X ) + p 2 = E ( X ) 2 − 2 p ⋅ E ( X ) + p 2 = p − p 2 = p ( 1 − p ) V(X)=E\left(\left(X-E(X)\right)^2\right)=E\left(\left(X-p\right)^2\right)=E\left(\mathrm{X}^2-2pX+p^2\right)=\\E\left(\mathrm{X}^2\right)-E\left(2pX\right)+p^2=E(X)^2-2p\cdot E(X)+p^2=p-p^2=p(1-p) V ( X ) = E ( ( X − E ( X ) ) 2 ) = E ( ( X − p ) 2 ) = E ( X 2 − 2 pX + p 2 ) = E ( X 2 ) − E ( 2 pX ) + p 2 = E ( X ) 2 − 2 p ⋅ E ( X ) + p 2 = p − p 2 = p ( 1 − p )

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion für X X X lautet

Es gibt nur zwei Ereignisse. Das Ereignis „ 0 0 0 “ tritt mit Wahrscheinlichkeit 1 − p 1-p 1 − p ein und ab t = 1 t=1 t = 1 sind beide Ereignisse sicher eingetreten, weshalb dann F ( t ) = 1 F(t)=1 F ( t ) = 1 gilt.

Wenn eine gesunde Person von einem Zombie gebissen wird, verwandelt sie sich mit 85 85 85 -prozentiger Wahrscheinlichkeit innerhalb von 5 5 5 Minuten ebenfalls in einen Zombie.

Bestimme die Zufallsvariable, den Erwartungswert und die Varianz.

Zufallsvariable X X X : X ( x ) = { 0 , wenn  x = keine Verwandlung , 1 , wenn  x = Verwandlung in Zombie . X(x) = \begin{cases} 0, & \text{wenn }x = \text{keine Verwandlung},\\ 1, & \text{wenn }x = \text{Verwandlung in Zombie}. \end{cases} X ( x ) = { 0 , 1 , ​ wenn  x = keine Verwandlung , wenn  x = Verwandlung in Zombie . ​

Erwartungswert E E E : E ( X ) = p = P ( X = 1 ) = 0 , 85 E(X) = p = P(X=1)=0{,}85 E ( X ) = p = P ( X = 1 ) = 0 , 85

Varianz V ( X ) V(X) V ( X ) : V ( X ) = p ⋅ ( 1 − p ) = 0 , 85 ⋅ 0 , 15 = 0 , 1275 V(X)=p\cdot(1-p)=0{,}85\cdot0{,}15=0{,}1275 V ( X ) = p ⋅ ( 1 − p ) = 0 , 85 ⋅ 0 , 15 = 0 , 1275

Verhältnis zu anderen Verteilungen

Die Bernoulli-Verteilung ist ein Spezialfall der Binomialverteilung mit n = 1 n=1 n = 1 .

Wiederholt man also ein Bernoulli-Experiment öfter und betrachtet alle Ergebnisse, so sind diese binomialverteilt.

Wiederholte Bernoulli-Experimente

Wird ein Bernoulli-Experiment öfter wiederholt, so spricht man von einem Bernoulli-Prozess oder einer Bernoulli-Kette .

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Bernoulli-Experiment

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ausgängen, z. B. der Wurf einer (unendlich dünnen) Münze oder das Funktionieren oder Nichtfunktionieren eines elektronischen Geräts. Meist gilt eines der beiden Ergebnisse als wünschenswerter (z. B. „Funktionieren“ oder „Gewinnen“), die entsprechende Wahrscheinlichkeit nennt man dann die Erfolgs - oder Trefferwahrscheinlichkeit p . Der andere Ausgang hat dann die Gegenwahrscheinlichkeit 1 – p .

Wird ein Bernoulli-Experiment n -mal unter identischen Bedingungen wiederholt, spricht man von einer Bernoulli-Kette .

Die Bezeichnung geht auf die schweizerische Mathematiker-Familie Bernoulli zurück, insbesondere Jakob Bernoulli (1655–1705), der die Stochastik mitbegründete. Allerdings werden die Ausdrücke „Bernoulli-Experiment“ und „Bernoulli-Kette“ so erst seit dem 20. Jahrhundert benutzt.

Schlagworte

• #Stochastik
• #Zufallsexperimente

• Wirtschaftswissenschaften
• Englisch / English (Grundlagen)
• Deutsch / German (Grundlagen)
• Learning German
• Bernoulli-Experimente in der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Es gibt in der Wahrscheinlichkeitsrechnung zwei Experimenttypen, die einem immer wieder begegnen. Das sind einerseits Laplace-Experimente und auf der anderen Seite Bernoulli- Experimente. Als Bernoulli – Experiment wird dabei ein Zufallsexperiment bezeichnet, bei denen sich genau zwei Elemente in der Ergebnismenge befinden, d.h es sind nur zwei Ergebnisse möglich. Als Laplace-Experiment wird ein Zufallsexperiment bezeichnet, bei dem davon ausgegangen wird, dass jeder Versuchsausgang gleich wahrscheinlich ist, d.h alle Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich.

Sowohl das Laplace-Experiment als auch das Bernoulli-Experiment sind einfach berechenbar. Man kann den Ausgang eines einzelnen Ergebnisses bzw. Experimentes zwar nicht vorhersagen, aber man kann Wahrscheinlichkeiten abschätzen und Prognosen erstellen. Im folgenden Kapitel wird die Formel zur Berechnung von Bernoulli-Experimenten vorgestellt.

Bernoulli-Experiment

Wie eingangs erwähnt, wird ein Bernoulli-Experiment als ein Zufallsexperiment bezeichnet, bei dem es nur zwei möglichen Ergebnisse bzw. Ereignisse gibt. Damit zählt das Bernoulli-Experiment zu den wichtigen “statistischen” Verfahren in den Naturwissenschaften, denn oft (in der Chemie oder Physik) ist nur das Ergebnis “Ja” bzw. “Nein” von Interesse. Nun kann man ein Bernoulli-Experiment auch mehrmals durchführen (was man in der Regel auch macht, schließlich führt eine mehrfache Versuchsdurchführung zu einer aussagekräftigeren Statistik). Hierbei spricht man dann von einer sogenannten Bernoulli-Kette.

Damit wir die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses bei einem Bernoulli-Experiment bzw. Bernoulli-Kette berechnen können, wiederholen wir zwei wichtige Eigenschaften der Bernoulli-Ketten. Die einzelnen Ereignisse bzw. Wahrscheinlichkeiten des Eintretens beeinflussen sich gegenseitig nicht und die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten bzw. Nichteintreten eines Ereignisses ist bei jedem Versuch gleich groß.

Berechnung mittels Baumdiagramm

Wie wir in dem einführenden Kapitel zu Baumdiagrammen erkannt hatten, lässt sich die Wahrscheinlichkeit einer Kette von Zufallsexperimenten mit Hilfe eines Baumdiagramms lösen (für eine “überschaubare” Anzahl n von Experimenten). Genauso lässt sich eine beliebige Bernoulli-Kette ebenfalls durch ein Baumdiagramm veranschaulichen bzw. berechnen:

In der Regel verwendet man zur Veranschaulichung eines Baumdiagramms bzw.Ereignisbaums die Zahlen 0 und 1 (ähnlich wie in der Informatik, daran merken wir bereits, dass Stochastik und Informatik sehr viel gemeinsam haben). Für das Eintreten (in unserem Beispiel: das Antreffen der Kugel rot) des Ereignisses wird mit “1” und das Nichteintreten wird mit 0 bezeichnet. Jede dieser Ereignisse (Eintreten bzw. Nichteintreten) hat eine bestimmte Wahrscheinlichkeit, die in Formelsammlungen in der Regel mit p (Wahrscheinlichkeit – Eintritt) und q (Wahrscheinlichkeit – Nichteintritt) gekennzeichnet werden.

Nun könnten wir eine solche Bernoulli-Kette mit Hilfe eines Baumdiagramms herleiten, wie im Kapitel “Baumdiagramm” erklärt. Zusammengefasst: Für die beiden Wahrscheinlichkeiten nehmen wir an: p und q = (1 – p). Wir betrachten nun den Ereignisbaum bei einer Anzahl mit n-Experimenten und einer Anzahl von k “eingetretenen Ereignissen” (z.B. Kugel “rot”).Gemäß der bedingten Wahrscheinlichkeitsregel gilt für diese Wahrscheinlichkeit:

P = p k · q (n-k)

Bisher haben wir aber nur einen Ast mit einem bestimmten Ergebnis betrachtet, in dem Baumdiagramm bzw. Ereignisbaum gibt es aber noch mehr “Verästelungen”. Daher müssen wir nun noch die Zahl der Verästelungen bestimmen. Und auch hier wieder nur die Zusammenfassung aus den vorangegangenen Kapitel: Es handelt sich hier um eine Kombination ohne Wiederholung und die Reihenfolge der Ereignisse hat keinen Einfluss auf weitere Ereignisse. Danach gilt folgende Formel:

Nun haben wir unsere Formel für den Bernoulli-Versuch hergeleitet. Wir müssen einfach die Wahrscheinlichkeit für einen Ereignis (einen bestimmten Ast) mit der Anzahl der Verästelungen (bzw. Wege) multiplizieren.

Bernoulli-Experimente in der Wahrscheinlichkeitsrechnung – Testfragen/-aufgaben

1. was versteht man unter einem bernoulli-experiment in der wahrscheinlichkeitsrechnung.

Ein Bernoulli-Experiment ist ein zufälliges Experiment mit genau zwei möglichen Ausgängen , die als Erfolg oder Misserfolg bezeichnet werden. Es ist nach dem Schweizer Mathematiker Jacob Bernoulli benannt.

2. Können Sie ein Beispiel für ein Bernoulli-Experiment geben?

Ein klassisches Beispiel für ein Bernoulli-Experiment ist das Werfen einer Münze . Hier sind die beiden möglichen Ereignisse “Kopf” (Erfolg) und “Zahl” (Misserfolg).

3. Was ist eine Bernoulli-Kette?

Eine Bernoulli-Kette ist eine Sequenz von n unabhängigen Bernoulli-Experimenten .

4. Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ergebnisses bei einem Bernoulli-Experiment?

Die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ergebnisses bei einem Bernoulli-Experiment berechnet man durch das Multiplizieren der Wahrscheinlichkeit des Erfolgs (p) und der Wahrscheinlichkeit des Misserfolgs (1-p).

5. Was ist die Bernoulli-Verteilung?

Die Bernoulli-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die das Ergebnis eines Bernoulli-Experiments beschreibt. Sie hat zwei mögliche Werte: 0 und 1.

6. Wie sieht die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Bernoulli-Verteilung aus?

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Bernoulli-Verteilung lautet: P(X=x) = p^x * (1-p)^(1-x) , für x in {0,1}.

7. Kann die Bernoulli-Verteilung zur Modellierung von binären Daten verwendet werden?

Ja, die Bernoulli-Verteilung kann zur Modellierung von binären Daten verwendet werden, da sie nur zwei mögliche Ergebnisse hat.

8. Was versteht man unter dem Erwartungswert bei einem Bernoulli-Experiment?

Der Erwartungswert bei einem Bernoulli-Experiment ist die durchschnittliche Auszahlung oder der durchschnittliche Wert. Er wird mit der Wahrscheinlichkeit des Erfolgs (p) berechnet.

9. Was ist die Varianz bei einem Bernoulli-Experiment?

Die Varianz gibt die erwartete quadratische Abweichung eines Zufallsvariables von seinem Mittelwert an. Bei einem Bernoulli-Experiment wird die Varianz mit p(1-p) berechnet.

10. Wie hängen Bernoulli-Experimente mit der Binomialverteilung zusammen?

Die Binomialverteilung ist eine Erweiterung des Bernoulli-Experiments auf eine Sequenz von n unabhängigen Bernoulli-Experimenten, auch als Bernoulli-Kette bezeichnet.

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• 13.5 Binomialverteilung
• 13.5.1 Bernoulli-Experimente

Bernoulli-Experimente

Ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen heißt BERNOULLI-Experiment. Die beiden Ergebnisse werden Erfolg bzw. Misserfolg genannt und häufig mit 1 bzw. 0 gekennzeichnet. Mit einem BERNOULLI-Experiment können zufällige Vorgänge in vielen Lebensbereichen hinreichend beschrieben werden, da oftmals nur interessiert, ob ein bestimmtes Ereignis eingetreten ist oder nicht.

Sein oder Nichtsein, das ist hier die Frage. (SHAKESPEARE)

Treten zufällige Ereignisse aus Natur und Gesellschaft, wie z.B. eine bestimmte Krankheit, auch mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit auf und wie lässt sich diese berechnen?

Dem Schweizer Mathematiker JAKOB BERNOULLI (1654 bis 1705) gingen diese Fragen über viele Jahre nicht aus dem Kopf. Er hegte die Hoffnung, mithilfe des vorhandenen statistischen Materials, d.h. über die relativen Häufigkeiten für das Auftreten einer bestimmten Krankheit, einen Zugang für die Lösung des Problems zu finden. In seinem 1713 veröffentlichten Buch „Ars conjectandi“ (Kunst des Vermutens) untersuchte er wohl als Erster in der Geschichte der Wahrscheinlichkeitstheorie das Stabilwerden relativer Häufigkeiten .

Als Modell verwandte JAKOB BERNOULLI eine Urne mit genau 3000 weißen und 2000 schwarzen Steinchen, aus der rein zufällig ein Stein gezogen wurde. Dieser Vorgang sollte nach Zurücklegen des betreffenden Steines beliebig oft wiederholt werden.

JAKOB BERNOULLI versuchte also, dem oben skizzierte Problem mit einem möglichst einfachen Zufallsexperiment , das nur zwei mögliche Ergebnisse besitzt (entweder schwarzes oder weißes Steinchen), auf die Spur zu kommen. Ihm zu Ehren tragen diese Zufallsexperimente heute seinen Namen.

• Definition: Ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen heißt BERNOULLI-Experiment. Die beiden Ergebnisse werden Erfolg bzw. Misserfolg genannt (mitunter auch Treffer bzw. Niete) und häufig mit 1 bzw. 0 gekennzeichnet. Die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Erfolg eintritt, nennt man Erfolgswahrscheinlichkeit p.

JAKOB BERNOULLI schlug übrigens die Bezeichnungen „fruchtbares Ereignis" und „unfruchtbares Ereignis“ vor, die sich allerdings nicht durchgesetzt haben. Alle diese Bezeichnungen werden wertfrei gebraucht. Auch höchst unerfreuliche Ereignisse werden mit dem Wort Erfolg belegt, wenn deren Eintreten von Interesse ist.

Die Tatsache, dass BERNOULLI-Experimente „einfache Zufallsexperimente“ sind, darf nicht zu der Annahme verleiten, sie seien nicht bedeutsam.

Zum einen ist es ein generelles Phänomen in der Wissenschaft, dass nicht selten Einsichten über komplizierte Strukturen mithilfe einfacher Strukturen gewonnen werden können. Das trifft auch und gerade für das BERNOULLI-Experiment zu.

Zum anderen können zufällige Vorgänge in vielen Lebensbereichen mit einem BERNOULLI-Experiment hinreichend beschrieben werden, da vielfach nur interessiert, ob ein bestimmtes Ereignis eingetreten ist oder nicht. Als Beispiele dafür seien genannt:

• Bei der Gütekontrolle von Bauteilen interessiert oft nur, ob ein bestimmtes vorgegebenes Maß, eine bestimmte vorgegebene Norm eingehalten wird oder nicht. Unberücksichtigt bleibt dabei z.B., wie groß die Abweichung von der Norm ist.
• Bei der Beurteilung von technischen Systemen interessiert oftmals nur die Frage, ob sie „intakt“ oder „nicht intakt“ sind. Unberücksichtigt bleibt dabei z.B. das äußere Erscheinungsbild dieser Systeme.

Das Modell „BERNOULLI-Experiment“ wird also wesentlich konstituiert durch das jeweilige Interesse am Eintreten eines bestimmten Ereignisses – mit anderen Worten: durch das jeweilige Beobachtungsziel .

Die Rolle des Beobachtungsziels wird durch das folgende spezielle Beispiel verdeutlicht.

• Beispiel : Betrachtet wird das einmalige Werfen eines fairen Würfels mit dem hier abgebildeten Netz.

Macht man keine weiteren Angaben zum Beobachtungsziel, so lautet die zugehörige Ergebnismenge Ω = { 1 ;   2 ;   4 ;   5 } , d.h. es liegt kein BERNOULLI-Experiment vor.

• Beobachtungsziel 1: Wird eine 1 gewürfelt oder nicht?

Erfolg: Augenzahl 1 Misserfolg: keine Augenzahl 1 Erfolgswahrscheinlichkeit: p = 1 3 Zufallsgröße: X ≙ ( 1 0 1 3 2 3 ) Es liegt ein BERNOULLI-Experiment mit p = 1 3 vor.

• Beobachtungsziel 2: Wird eine ungerade Augenzahl geworfen?

Erfolg: ungerade Augenzahl Misserfolg: gerade Augenzahl Erfolgswahrscheinlichkeit: p = 3 6 = 1 2 Zufallsgröße: Y ≙ ( 1 0 1 2 1 2 ) Es liegt ein BERNOULLI-Experiment mit p = 1 2 vor, das zugleich ein LAPLACE-Experiment ist.

Stand: 2010 Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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Herleitung der Bernoulli Formel

Die Bernoulli-Formel ist ein fundamentales Konzept in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, insbesondere im Zusammenhang mit der Bernoulli-Verteilung und der Binomialverteilung. Um die Bernoulli-Formel zu verstehen, müssen wir zunächst einige Grundbegriffe und Prinzipien der Wahrscheinlichkeitsrechnung kennenlernen.

Grundbegriffe und Definitionen

Bernoulli-Experiment : Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment, das genau zwei mögliche Ergebnisse hat: "Erfolg" (oft mit 1 bezeichnet) und "Misserfolg" (oft mit 0 bezeichnet). Ein Beispiel für ein Bernoulli-Experiment ist das Werfen einer Münze, bei dem die beiden möglichen Ergebnisse "Kopf" (Erfolg) und "Zahl" (Misserfolg) sind.

Wahrscheinlichkeit : Die Wahrscheinlichkeit ist ein Maß dafür, wie wahrscheinlich ein bestimmtes Ereignis ist. Sie wird mit einer Zahl zwischen 0 und 1 ausgedrückt, wobei 0 bedeutet, dass das Ereignis unmöglich ist, und 1 bedeutet, dass das Ereignis sicher ist.

Erfolgswahrscheinlichkeit (p) : Die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Bernoulli-Experiment zu einem Erfolg führt.

Misserfolgswahrscheinlichkeit (q) : Die Misserfolgswahrscheinlichkeit $q$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Bernoulli-Experiment zu einem Misserfolg führt. Da es nur zwei mögliche Ergebnisse gibt, gilt $q = 1 - p$.

Die Bernoulli-Formel

Die Bernoulli-Formel beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Serie von $n$ unabhängigen Bernoulli-Experimenten genau $k$ Erfolge auftreten. Diese Formel ist besonders nützlich, um Wahrscheinlichkeiten in realen Szenarien zu berechnen, in denen mehrere unabhängige Experimente durchgeführt werden.

Die Bernoulli-Formel lautet:

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}$

Hierbei stehen die Symbole für:

• $P(X = k)$: Die Wahrscheinlichkeit, dass genau $k$ Erfolge in $n$ Versuchen auftreten.
• $\binom{n}{k}$: Der Binomialkoeffizient, der die Anzahl der Möglichkeiten darstellt, $k$ Erfolge in $n$ Versuchen anzuordnen. Der Binomialkoeffizient wird auch als "n über k" gelesen und berechnet sich wie folgt:

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}$

Hierbei ist $n!$ (n-Fakultät) das Produkt aller positiven ganzen Zahlen von 1 bis $n$.

• $p^k$: Die Wahrscheinlichkeit, dass $k$ Erfolge auftreten, wobei jeder Erfolg die Wahrscheinlichkeit $p$ hat.
• $(1 - p)^{n - k}$: Die Wahrscheinlichkeit, dass die verbleibenden $n - k$ Versuche Misserfolge sind, wobei jeder Misserfolg die Wahrscheinlichkeit $1 - p$ hat.

Beispiel zur Veranschaulichung

Betrachten wir ein einfaches Beispiel, um die Anwendung der Bernoulli-Formel zu verdeutlichen:

Stellen Sie sich vor, wir werfen eine faire Münze (d.h. $p = 0.5$) 5 Mal. Wir möchten die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass genau 2 Mal "Kopf" (Erfolg) erscheint.

Hier sind die Schritte zur Berechnung:

• Binomialkoeffizient :

$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5 - 2)!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{2 \times 1 \times 3!} = \frac{20}{2} = 10$

• Berechnung der Wahrscheinlichkeit :

$P(X = 2) = \binom{5}{2} \times (0.5)^2 \times (1 - 0.5)^{5 - 2}$

$P(X = 2) = 10 \times (0.5)^2 \times (0.5)^3$

$P(X = 2) = 10 \times 0.25 \times 0.125$

$P(X = 2) = 10 \times 0.03125$

$P(X = 2) = 0.3125$

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei 5 Münzwürfen genau 2 Mal "Kopf" erscheint, beträgt also 0.3125 oder 31.25%.

Die Bernoulli-Formel ist ein mächtiges Werkzeug in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, das es ermöglicht, die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl von Erfolgen in einer Serie von unabhängigen Bernoulli-Experimenten zu berechnen. Durch das Verständnis der zugrunde liegenden Konzepte und die Anwendung der Formel können wir viele praktische Probleme lösen, von Qualitätskontrolle bis hin zu medizinischen Studien.

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Bernoulli-Experiment

Ein Bernoulli-Experiment ist ein nach dem Schweizer Jakob I. Bernoulli benanntes Zufallsexperiment, das lediglich zwei verschiedenen Ausgängen (Ergebnisse) zulässt. Dabei ist es irrelevant, welche Wahrscheinlichkeiten die beiden Ausgänge des Zufallsexperimentes haben.

Beispiel Münzwurf

Der Münzwurf ist ein beliebtes Beispiel für ein Bernoulli-Experiment. Betrachtet wird die Wahrscheinlichkeit welche Seite der Münze nach einem Wurf oben liegt (Kopf oder Zahl).

Mögliche Ausgänge

X : Bei einem Wurf wird "Zahl" geworfen.

X ist ein Bernoulli-Experiment, da die Münze nach dem Wurf nur Kopf, oder Zahl zeigen kann.

Der Münzwurf ist neben einem Bernoulli-Experiment auch ein Laplace-Experiment, da beide Ausgänge exakt die selbe Wahrscheinlichkeit haben.

Unterschied zum Laplace-Experiment

Gerne verwechselt werden Bernoulli-Experiment und  Laplace-Experiment. Im Vergleich zum Laplace-Experiment spielt beim Bernoulli-Experiment die Wahrscheinlichkeit des Ausgang des Zufallsexperimentes keine Rolle.

Beispiel Münzwurf Experiment: Eine Münze mit den Seiten "Kopf" und "Zahl" wird geworfen.

Wahrscheinlichkeiten bei einem Wurf

X : Es wird eine "Zahl" geworfen X ist ein Bernoulli-Experiment, da das Experiment nur zwei Ausgänge hat (Kopf oder Zahl). X ist ein Laplace-Experiment, da die beiden Ausgänge die selbe Wahrscheinlichkeit haben (p = 1/2).

Beispiel Kugelzug aus Urne Experiment: Aus einer Urne mit 1x roten Kugel und 2x blauen Kugel wird blind gezogen.

Wahrscheinlichkeiten bei einem Zug

X : Es wird eine rote Kugel gezogen

X ist ein Bernoulli-Experiment, da lediglich eine rote oder eine blaue Kugel gezogen werden kann (nur zwei mögliche Ausgänge). X ist kein Laplace-Experiment, da die möglichen Ausgänge unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten haben (p = 1/2 sowie p = 2/3).

Beispiel Wurf eines Würfels Experiment: Ein Würfel mit sechs Seiten: 1, 2, 3, 4, 5 und 6 wird geworfen.

X : Es wird die Zahl 3 geworfen. X ist ein Bernoulli-Experiment, da das Experiment lediglich die Ausgänge 3 oder keine 3 hat. X ist kein Laplace-Experiment, da die Wahrscheinlichkeit eine 3 (p = 1/6) zu würfeln, nicht gleich der Wahrscheinlichkeit keine 3 (5/6) ist.

Y : Es wird eine beliebige Zahl geworfen. Y ist kein Bernoulli-Experiment, da das Experiment 6 verschiedene Ausgänge hat. Y ist ein Laplace-Experiment, da jeder Ausgang die Wahrscheinlichkeit p = 1/6 hat.

Bernoulli Experiment / Kette

Mit dem Bernoulli-Experiment bzw. der Bernoulli - Kette befassen wir uns in diesem Artikel. Dabei erklären wir euch, was ein Bernoulli - Experiment bzw. eine Bernoulli - Kette ist und liefern euch entsprechende Beispiele. Dieser Artikel gehört zum Bereich Mathematik / Stochastik.

Beginnen wir mit der Definition des Begriffs Zufallsexperiment: Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, bei dem mindestens zwei Ergebnisse möglich sind und bei dem man vor Ablauf des Vorgangs das Ergebnis nicht vorhersehen kann. Beispiel: Ein Würfel wird geworfen. Auf welcher Seite er landet, ist vor Abwurf des Würfels aus der Hand nicht zu sagen.

Das Bernoulli - Experiment

Als Bernoulli - Experiment bezeichnet man ein Zufallsexperiment, bei denen sich genau zwei Elemente in der Ergebnismenge befinden. Wir haben also einen Zufallsversuch, das nur zwei Ergebnisse kennt. Beispiel:

• Eine Münze wird geworfen. Die Münze kann auf Kopf oder Zahl fallen, es gibt somit nur zwei mögliche Ergebnisse. Es liegt ein Bernoulli-Experiment vor.

Die Summe der beiden Möglichkeiten bei einem Bernoulli-Experiment muss stets 1 betragen. Für die Münze hat sowohl das Wappen als auch die Zahl die Wahrscheinlichkeit 0,5.

Die Bernoulli - Kette

Wird ein Bernoulli - Experiment immer mit denselben Bedingungen n-mal hintereinander durchgeführt, so spricht man von einer Bernoulli - Kette.

Eine Münze wird 20mal hintereinander geworfen. Wir haben somit ein Bernoulli - Experiment, welches n = 20 mal hintereinander durchgeführt wird.

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Dennis Rudolph

Dennis Rudolph hat Mechatronik mit Schwerpunkt Automatisierungstechnik studiert. Neben seiner Arbeit als Ingenieur baute er frustfrei-lernen.de und weitere Lernportale auf. Er ist zudem mit Lernkanälen auf Youtube vertreten und an der Börse aktiv. Mehr über Dennis Rudolph lesen .

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Was ist eigentlich ein Bernoulli-Versuch (Bernoulli-Experiment)?

Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Begriff Bernoulli-Versuch bzw. Bernoulli-Experiment. Was ist denn ein Bernoulli-Versuch überhaupt? Ein Bernoulli-Versuch ist ein Zufallsversuch, bei dem es nur 2 verschiedene, mögliche Ausgänge gibt. Ein Zufallsversuch ist irgendetwas, das man macht, und es kommt dabei auf den Zufall an, was rauskommt, beispielsweise Münze werfen oder mit einem Würfel würfeln. Eine Münze werfen ist ein Bernoulli-Experiment, denn es kann nur die beiden Ausgänge Kopf oder Zahl (man kann nur Kopf oder Zahl werfen). Auch das Würfeln kann man als Bernoulli-Versuch ansehen. Man kann zwar 6 verschiedene Zahlen würfeln, aber man kann beispielsweise "einen 6er würfeln" als Erfolg ansehen. Dann gibt es 2 Ausgänge, nämich: Erfolg (man würfelt einen 6er) Misserfolg (man würfelt keinen 6er, also einen 1er, 2er, 3er, 4er oder 5er) So gut wie alle Zufallsversuche, die im Schul-Stoff vorkommen, kann man als Bernoulli-Versuche ansehen, denn es gibt immer Erfolg und Misserfolg und daher immer nur 2 verschiedene mögliche Ausgänge. Was genau "Erfolg" bedeutet, kommt auf die Aufgabe an. "Erfolg" hat dann immer eine gewisse Wahrscheinlichkeit p, beispielsweise 0,34 (bzw. 34 %); und "Misserfolg" hat dann die Wahrscheinlichkeit 1-p, in unserem Beispiel 0,66 (bzw. 66%). Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich" Hast du noch mehr Mathe-Fragen oder Fragen zur #Zentralmatura und zum #Aufgabenpool, dann hol' dir unsere App Miranda. Neben tausenden Mathe-Videos kannst du dort auch unzählige Aufgaben selbst lösen. Außerdem gibt's in der Miranda App eine Formelsammlung mit Videos, einen integrierten Taschenrechner und tolle Awards, damit das Mathe-Lernen spannend bleibt :) Und das Beste daran, du brauchst keinen Laptop mehr. Mit der Miranda App kannst du ganz easy auf deinem Smartphone lernen :D Miranda App: https://play.google.com/store/apps/details?id=works.miranda Miranda Website: https://miranda.works #Miranda #Matura #Algebra #Mathe #Zentralmatura #Aufgabenpool

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Bernoulli experiment.

Ein Bernoulli Experiment ist ein Zufallsexperiment, welches genau 2 mögliche Ergebnisse hat: Treffer / Niete

Hier findest du folgende Inhalte

Einstufige zufallsexperimente und deren wahrscheinlichkeiten.

Ein Zufallsexperiment ist ein grundsätzlich beliebig oft wiederholbarer "Versuch", welcher unter identischen Bedingungen zu 2 oder mehreren nicht vorhersagbaren Ergebnissen führt. Dabei ist das zeitlich jeweils nächste Ergebnis unabhängig von den zeitlich vorhergehenden Ergebnissen.

Ergebnismenge  \(\Omega\)

Ein Ergebnis ist der spezifische Ausgang von einem Zufallsexperiment. Die Ergebnismenge, auch Ergebnisraum genannt, ist die Menge aller möglichen Ergebnisse A i eines Zufallsexperiments, die grundsätzlich auftreten können.

\(\Omega = \left\{ {{A_1},{A_2},...,{A_n}} \right\}\)

• Ergebnis eines einmaligen Würfelwurfs: "2 Augen"
• Die Menge aller möglichen Ergebnisse - also der Ergebnisraum \(\Omega\) - beim Würfeln ist \(\Omega = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\)
• Die Menge aller möglichen Ergebnisse - also der Ergebnisraum \(\Omega\) - beim Wurf einer Münze ist \(\Omega = \left\{ {{\rm{Kopf;Zahl}}} \right\}\)
• Die Menge aller möglichen Ergebnisse - also der Ergebnisraum \(\Omega\) - beim Würfeln mit 2 Würfeln ist \(\Omega = \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {1;2} \right);...;\left( {1;6} \right);\left( {2;1} \right);\left( {2;2} \right);....\left( {6;6} \right)} \right\}\)

Ereignismenge   \(P\left( \Omega \right)\)

Ereignismengen, auch Ereignisräume genannt, sind Teil mengen der Ergebnismenge. 

\(P\left( \Omega \right) = \left\{ {A\left| {A \subseteq \Omega } \right.} \right\}\)

Beispiel Würfel:

• Ergebnismenge: \(\Omega = \left\{ {{1},{2},...,{6}} \right\}\)
• Ereignismenge "nur" die gerade Augenzahl: \(\Omega = \left\{ {{2},{4},{6}} \right\}\)

Elementarereignis

Das Elementarereignis A i ist eine Teilmenge der Ergebnismenge \(\Omega\) mit genau einem Element .

\({A_i} \in \Omega\)

Zur Veranschaulichung: Wirft man einen Würfel, so umfasst die Ergebnismenge \(\Omega = \left\{ {1,2,3,4,5,6} \right\}\) genau 6 Elementarereignisse : 1 Auge, 2 Augen, 3 Augen, 4 Augen, 5 Augen, 6 Augen

Gegenereignis

Das Gegenereignis A‘ tritt genau dann ein, wenn das Ereignis A nicht eintritt. Alle Elemente des Ereignisses A und seines Gegenereignisses A‘ ergeben zusammen die Ergebnismenge \(\Omega\) . \(A' + A = \Omega\)

Die Verneinung vom Ereignis E heißt Gegenereignis \(\overline E \) . Für ein Ereignis E und sein Gegenereignis \(\overline E \) gilt folgender Zusammenhang: \(P\left( E \right) = 1 - P\left( {\overline E } \right)\)

​​​ Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit ist ein Maß dafür, wie wahrscheinlich der Eintritt eines Ereignisses ist. Bei der wiederholten Durchführung eines Zufallsexperiments tritt eine Abfolge von einzelnen Elementarereignissen A i auf. Man kann zwar nicht vorhersagen genau welches Elementarereignis als nächstes auftritt, aber man kann eine Aussage darüber machen, wie häufig ein bestimmtes Elementarereignis im Vergleich zu den anderen Elementarereignissen auftritt. Die Wahrscheinlichkeit nach Laplace P(A)=P(X=x) leitet sich aus der Häufigkeit eines bestimmten Elementarereignisses, im Verhältniss zur Häufigkeit aller Elementarereignisse ab.

Gleichwahrscheinlichkeit

Eine Gleichwahrscheinlichkeit liegt vor, wenn jedes der n Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit 1/n hat.

Unbedingte Wahrscheinlichkeit P(A)

Die unbedingte Wahrscheinlichkeit gibt an, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für den Eintritt eines Ereignisses ist, unabhängig von irgend welchen Vorbedingungen.

Beispiel: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass morgen in Wien die Temperatur 30° C überschreitet? Antwort: Nieder, weil es nur ca. 30 derartige Hitzetage pro Jahr gibt.

Bedingte Wahrscheinlichkeit P(B│A)

Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|A) ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von B, unter der Voraussetzung (Bedingung), dass bereits das Ereignis A eingetreten ist, also bei von einander stochastisch abhängigen Ereignissen

\(P\left( {{B}\left| {{A}} \right.} \right) = \dfrac{{P\left( {{A} \cap {B}} \right)}}{{P\left( {{A}} \right)}}\)

Obige Formel ist lediglich die umformulierte Multiplikationsregeln für Wahrscheinlichkeiten ("Und Regel").

Beispiel: Heute wird in Wien eine Temperatur von 35° C gemessen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass morgen in Wien die Temperatur 30° C überschreitet? Antwort: Hoch, da sich die Klimalage nur alle paar Tage verändert.

Gegenwahrscheinlichkeit

Die Gegenwahrscheinlichkeit vom Ereignis A ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis A nicht eintritt. Oft ist es einfacher die Gegenwahrscheinlichkeit von einem Ereignis auszurechnen und daraus die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses selbst zurückzurechnen.

\(\eqalign{ & P\left( {A'} \right) = 1 - P\left( A \right) \cr & P\left( A \right) = 1 - P\left( {A'} \right) \cr}\)

Anmerkung zur Notation:

\(P\left( {A'} \right) = P\left( {\neg A} \right)\)

Ein Bernoulli Experiment ist ein Zufallsexperiment, welches

• genau 2 mögliche Ergebnisse hat: Treffer / Niete.
• Die Wahrscheinlichkeit p für einen Treffer oder für eine Niete muss aber keinesfalls 50:50 bzw. 0,5 sein. Die Formel für die Laplace Wahrscheinlichkeit ("günstige" durch "mögliche")  gilt auch für Bernoulli Experimente, da diese ja nur ein Sonderfall vom Laplace Experiment sind.

Beispiel: gerade und ungerade Tage im Jänner: Jeder Tag muss entweder gerade oder ungerade sein, aber es gibt im Jänner 15 gerade aber 16 ungerade Tage.

\(\eqalign{ & P\left( {X = {\text{gerader Tag}}} \right) = \dfrac{{15}}{{31}} \cr & P\left( {X = {\text{ungerader Tag}}} \right) = \dfrac{{16}}{{31}} \cr} \)

Gegenwahrscheinlichkeiten in einem Bernoulli Experiment

Wenn in einem Bernoulli Experiment p die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer ist, dann ist 1-p die Wahrscheinlichkeit für eine Niete, man nennt dies die Gegenwahrscheinlichkeit.

Laplace Experiment

Ein Laplace Experiment ist ein Zufallsexperiment, welches n mögliche Ergebnisse hat, wobei die Wahrscheinlichkeit für jedes der n Ergebnisse gleich groß ist. Man spricht dann von der Laplace Wahrscheinlichkeit.

Beispiel für ein Laplace Experiment: Würfelwurf; Es gibt 6 mögliche Elementarereignisse, die die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. 1 Auge, 2 Augen, 3 Augen, 4 Augen, 5 Augen, 6 Augen

Laplace Wahrscheinlichkeit

Die Laplace Wahrscheinlichkeit P(E) gibt den relativen Anteil der „günstigen“ Versuchsausgänge zu den „möglichen“ Versuchsausgängen an. Sie ist also eine Maßzahl für die Chance, dass ein bestimmtes Ereignis E bei mehreren möglichen Ereignissen eintritt. Alle Elementarergebnisse / Ausgänge müssen die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit haben.

\(P\left( E \right) = \dfrac{{{\text{Anzahl der günstigen Fälle}}}}{{{\text{Anzahl der möglichen Fälle}}}}\)

wobei: \(0 \leqslant P\left( E \right) \leqslant 1{\text{ und }}P\left( 0 \right) = 0{\text{ sowie P}}\left( \Omega \right) = 1\)

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Aufgabe 1050

AHS - 1_050 & Lehrstoff: WS 3.1 Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015) ​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Bernoulli-Experiment

Beim Realisieren eines Bernoulli-Experiments tritt Erfolg mit der Wahrscheinlichkeit p mit 0 < p < 1 ein. Die Werte der binomialverteilten Zufallsvariablen X beschreiben die Anzahl der Erfolge beim n-maligen unabhängigen Wiederholen des Experiments. E bezeichnet den Erwartungswert, V die Varianz und σ die Standardabweichung.

• Aussage 1: \(E\left( X \right) = \sqrt {n \cdot p}\)
• Aussage 2: \(V\left( X \right) = n \cdot p \cdot \left( {1 - p} \right)\)
• Aussage 3: \(P\left( {X = 0} \right) = 0\)
• Aussage 4: \(P\left( {X = 1} \right) = p\)
• Aussage5: \(V\left( X \right) = {\sigma ^2}\)

Aufgabenstellung: Kreuzen Sie die beiden für n > 1 zutreffenden Aussagen an!

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Bernoulli-Experimente und Bernoulli-Ketten

Erfolgswahrscheinlichkeit, misserfolgswahrscheinlichkeit, formel von bernoulli,treffer, nicht treffer, binomialkoeffizient, inhaltsverzeichnis zum thema, was ist ein bernoulli-experiment, was ist eine bernoulli-kette, die führerscheinprüfung, voraussetzungen für bernoulli-ketten.

Ein Bernoulli-Experiment ist ein einstufiges Zufallsexperiment , bei welchem es nur zwei verschiedene Ergebnisse gibt. Diese werden üblicherweise als Treffer ( Erfolg ) oder Nicht-Treffer ( Misserfolg ) bezeichnet.

Ein Beispiel für ein solches Experiment ist das Werfen mit einer Münze. Dabei kannst du entweder Kopf oder Zahl erzielen. Es gibt also nur zwei Ergebnisse.

Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer $p$ bezeichnet man als Trefferwahrscheinlichkeit oder Erfolgswahrscheinlichkeit . Die Gegenwahrscheinlichkeit $q=1-p$ wird als Misserfolgswahrscheinlichkeit bezeichnet.

So nun ist klar, was ein Bernoulli-Experiment ist. Da stellt sich die Frage ...

Eine Bernoulli-Kette ist ein mehrstufiges Zufallsexperiment, bei dem in jeder Stufe das gleiche Bernoulli-Experiment durchgeführt wird.

Dabei ist zu beachten, dass die einzelnen Stufen (stochastisch) unabhängig voneinander sein sollen. Sehr vereinfacht ausgedrückt bedeutet dies, dass die Wahrscheinlichkeiten sich nicht ändern.

Die Anzahl der Stufen des Experimentes wird als Länge der Bernoulli-Kette $n$ bezeichnet.

So, das war nun reichlich viel Theorie. Wir schauen uns einmal ein Beispiel an.

Du möchtest eine Führerscheinprüfung machen. Es bleiben noch sechs Fragen übrig. Jede dieser Fragen hat vier Antwortmöglichkeiten, von denen immer eine korrekt ist. Du kennst die jeweils richtige Antwort nicht und musst auf gut Glück raten.

• Ein Erfolg oder auch Treffer liegt vor, wenn du die richtige Antwort errätst. Die zugehörige Wahrscheinlichkeit ist $p=\frac14=0,25$.
• Ansonsten liegt ein Misserfolg vor mit der Wahrscheinlichkeit $q=1-p=\frac34=0,75$.

Die Anzahl der noch verbliebenen Fragen ist die Länge der Bernoulli-Kette $n=6$.

Du darfst dir nur noch maximal zwei Fehler erlauben oder, anders ausgedrückt, du musst mindestens vier richtige Antworten haben.

Nun kann es losgehen. Du berechnest die Wahrscheinlichkeit für mindestens vier Treffer, also $P(X\ge 4)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)$.

Für die Berechnung der Punktwahrscheinlickeiten $P(X=k)$ verwendest du die Formel von Bernoulli :

$P(X=k)=\begin{pmatrix} n \\ k\end{pmatrix}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$.

Dabei ist $k$ die Anzahl der Treffer, hier die Anzahl der richtigen Antworten.

• $P(X=4)=\begin{pmatrix} 6 \\ 4\end{pmatrix}\cdot 0,25^4\cdot 0,75^2\approx0,0330$
• $P(X=5)=\begin{pmatrix} 6 \\ 5\end{pmatrix}\cdot 0,25^5\cdot 0,75^1\approx0,0044$
• $P(X=6)=\begin{pmatrix} 6 \\ 6\end{pmatrix}\cdot 0,25^6\cdot 0,75^0\approx0,0002$

Zuletzt addierst du diese Wahrscheinlichkeiten zu $P(X\ge 4)=0,0330+0,0044+0,0002=0,0376$. Das sind etwas weniger als $4\%$. Du siehst, du solltest dich nicht auf dein Glück verlassen.

Übrigens: Du kannst Bernoulli-Ketten auch in Form eines Baumdiagrammes darstellen.

Hier siehst du noch einmal zusammengefasst, wann du überhaupt Bernoulli-Ketten verwenden kannst:

• Die Erfolgs- oder Trefferwahrscheinlichkeit der einzelnen Stufen ändert sich nicht.
• Es gibt immer nur Erfolg und Misserfolg als mögliche Versuchsausgänge.
• Die einzelnen Teilexperimente (Durchgänge) sind unabhängig voneinander.

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Stochastik - Bernoullikette und Binomialverteilung, Matheübungen

Kennzeichen eines bernoulliexperiments und einer bernoulli-kette, bestimmung der zugehörigen parameter, binomialverteilung bei vorgegebenen parametern, textaufgaben - lehrplan g8 (12. klasse).

• Aufgaben Aufgaben rechnen
• Stoff Stoff ansehen
• Beispielaufgabe

Binomialkoeffizienten

Schreibweise:

• wie ein Vektor (n über r in runden Klammern)
• Gelesen: "n über r"
• Zähler: n · (n-1) · (n-2) · ... (n-r+1) [insgesamt r Faktoren]
• Nenner: 1 · 2 · 3 · ... · r [ebenfalls r Faktoren]
• Kürzen (bis der Nenner 1 ist!), dann verbliebenen Zähler berechnen.

Berechne den Binomialkoeffizienten.

Checkos: 0 max. Ergebnis prüfen Wenn du ein Benutzerkonto hast, logge dich bitte zuvor ein. Stoff zum Thema Bernoulli-Experimente und Bernoulli-Ketten: "Erfolg -- Nichterfolg" "Treffer -- Niete" Ist die Treffer-Wahrscheinlichkeit p, so ist die Nicht-Treffer-Wahrscheinlichkeit q = 1− p (Gegenereignis). Ein Bernoulli-Experiment wird n mal wiederholt, wobei die Durchführungen jeweils unabhängig voneinander sind. Ein Pfad mit r Treffern hat die Wahrscheinlichkeit p r · q n-r , wobei p die Trefferwahrscheinlichkeit und q = 1 − p die Nicht-Trefferwahrscheinlichkeit ist. In einer Bernoulli-Kette der Länge n gibt der Binomialkoeffizient "n über r" die Anzahl der Pfade mit genau r Treffern an. Bernoulli Formel: Für eine Bernoulli-Kette der Länge n lässt sich die Wahrscheinlichkeit P(X=r), dass die Zufallsgröße X genau r Treffer (Trefferwahrscheinlichkeit p) hat mit der Bernoulli-Formel berechnen: Wahrscheinlichkeiten der Art P( X ≤ k ) einer binomial verteilten Zufallsgröße X können mit unterschiedlichen Hilfsmitteln (WTR, CAS/MMS, GTR, Tafelwerk) bestimmt werden. Man beachte, welche Hilfsmittel für die Prüfung zugelassen sind! Um P( Z > k ) zu bestimmen, ermittelt man erst den Wahrscheinlichkeitswert für das Gegenereignis "Z ≤ k" und zieht diesen dann von 1 ab. Zählt X die Anzahl der Treffer bei einem Bernoulli-Experiment, so ist X binomialverteilt. Geometrische Verteilung Dieser Artikel erklärt einfach und verständlich, was es mit der geometrischen Verteilung auf sich hat. Du erfährst, wann man diese diskrete Verteilung benutzt und wie man die Formeln zur Berechnung des Erwartungswertes , der Dichte  und der  Verteilungsfunktion verwendet. Du möchtest wissen, was die geometrische Verteilung mit Bernoulli zu tun hat ohne diesen Artikel zu lesen? Dann sieh dir unser Video zum Thema an! Geometrische Verteilung Statistik Geometrische verteilung beispiel, erwartungswert geometrische verteilung. Die Geometrische Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, welche sich auf Basis von unabhängigen Bernoulli Experimenten ergibt. Sie wird oft als „Verteilung des Wartens auf den ersten Erfolg“ bezeichnet. In diesem Ausdruck spiegelt sich auch schon ihre Grundidee wieder. Es liegt ein Bernoulli Experiment mit der Wahrscheinlichkeit p vor und man fragt sich, wie oft man dieses Experiment ausführen muss, bis der erste Erfolg eintritt. Beziehungsweise in unserem Beispiel: Geometrische Verteilung Dichte Die Dichte  der geometrischen Verteilung lautet wie folgt: Warum die Formel so aussieht, kann man sich ganz einfach selbst herleiten. Wenn man beispielsweise die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen will, dass man mit dem zweiten Versuch eine 6 würfelt, also f(2), muss man die Wahrscheinlichkeit, dass man im ersten Versuch keine 6 gewürfelt hat, also (1-p), mit der Wahrscheinlichkeit, dass man eine 6 würfelt, also p, multiplizieren. Die Wahrscheinlichkeit im zweiten Versuch eine 6 zu würfeln beträgt also circa 13,89%. Geometrische Verteilung Verteilungsfunktion Die Verteilungsfunktion der geometrischen Verteilung lässt sich am einfachsten über die Gegenwahrscheinlichkeit bestimmen. Wir suchen ja die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als x Versuche benötigt werden, um eine 6 zu würfeln. Dazu müsste man jede einzelne Wahrscheinlichkeit aufsummieren. Das kann man sich aber sparen, indem man ganz einfach die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis, also P(X>x) bestimmt. Denn es gilt ja die Regel, dass die Wahrscheinlichkeit 1 minus die Gegenwahrscheinlichkeit ist. Der Erwartungswert der geometrischen Verteilung lässt sich ebenfalls sehr einfach bestimmen: Geometrische Verteilung Varianz Wenn du den Erwartungswert weißt, ist die Berechnung der Varianz ein Leichtes. Die Formel für die Bestimmung der Varianz sieht wie folgt aus: Im Endeffekt muss man nur den Erwartungswert einsetzten und erhält im Handumdrehen die gesuchte Varianz. Geometrische Verteilung Formel Super! Das wars auch schon zur geometrischen Verteilung! Hier sind noch einmal alle wichtigen Formeln zusammengefasst: Beliebte Inhalte aus dem Bereich Wahrscheinlichkeitsrechnung Poissonverteilung Dauer: 01:54 Diskrete Gleichverteilung Dauer: 03:44 Kombinatorik Dauer: 04:37 Weitere Inhalte: Wahrscheinlichkeitsrechnung Hallo, leider nutzt du einen AdBlocker. Auf Studyflix bieten wir dir kostenlos hochwertige Bildung an. Dies können wir nur durch die Unterstützung unserer Werbepartner tun. Schalte bitte deinen Adblocker für Studyflix aus oder füge uns zu deinen Ausnahmen hinzu. 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Die Gegenwahrscheinlichkeit berechnet sich dann aus https://de.wikipedia.org/wiki/Bernoulli-Verteilung Und wie sieht es mit/ohne Zurücklegen aus? Beeinflusst dies das Bernoulli-Experiment? Was du meinst ist schon eine Bernoulli-Kette. Da die Erfolgswahrscheinlichkeit p in einer Bernoullikette gleich bleiben muss, muss auch mit Zurücklegen gezogen werden. Ein anderes Problem? Ähnliche Fragen binomialverteilung Eingabetools: Beliebte fragen:. Konvergiert die Reihe \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{2^{k}}{3^{k}-1}\left|\frac{\frac{2^{k+1}}{3^{k+1}-1}}? (1) Konvergenz von Integralen und Reihen (3) Konvergiert die Reihe \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{10^{k}}? (3) Warum gilt eigentlich LIM(1+1/n)n = e? (3) Divergenz einer schwierigen Folge (3) Existiert das bestimmte Integral? (1) Wer war eigentlich (in zeitlicher Reihenfolge) von den letzten fünf Sperrungen eines Accounts betroffen, und was … (1) Heiße Lounge-Fragen: Valenzstrichformel in Keil-Strich-Projektion “Denken heißt Möglichkeiten erwägen.” Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos 150 IMAGES Bernoulli Experiment Beispiel Bernoulli Experiment Beispiel Bernoulli-Experiment, Bernoullli-Formel und Bernoulli-Kette Bernoulli Formel • einfach erklärt, Bernoulli Kette · [mit Video] Bernoulli Effekt Bernoulli-Gleichung COMMENTS Bernoulli-Experiment: Einfach erklärt, Definition & Merkmale Bernoulli Experiment. Josh dreht bei einer Aktion eines Bekleidungsgeschäfts einmalig an einem Glücksrad. Das Glücksrad hat 8 Felder mit jeweils gleicher Größe. Auf einem Feld liegt der Hauptgewinn, und zwar ein Rabattcode von 30 % auf alle Waren. Bernoulli Experiment ⇒ einfach und verständlich erklärt Ein Bernoulli-Experiment kann als Resultat nur die Ergebnisse 0 oder 1 bzw. Treffer oder Niete besitzen; Wird ein Bernoulli-Experiment öfter wiederholt, so spricht man von einem Bernoulli-Prozess oder Bernoulli-Kette; Die Bernoulli-Verteilung ist ein Spezialfall der Binominalverteilung mit n=1. Bernoulli Experiment • Formel von Bernoulli, Wahrscheinlichkeit Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ergebnissen: Einem „Treffer" oder einer „Niete". Die Bedingung eines Bernoulli-Experiments lautet also: Es darf nur zwei mögliche Ergebnisse geben. Bernoulli-Experiment Definition. Ein Experiment, dass nur zwei mögliche Ergebnisse (Treffer oder Niete) hat, heißt Bernoulli-Experiment. Wenn p die Wahrscheinlichkeit eines Treffers ist, ist 1- p die Gegenwahrscheinlichkeit. W.14.01 Ein Bernoulli-Experiment (= Bernoulli-Kette = Bernoulli-Verteilung) liegt vor, wenn es nur zwei mögliche Ausgänge für das Experiment gibt und die Wahrscheinlichkeit sich nie ändert. Damit sind sehr, sehr viele Aufgaben der Wahrscheinlichkeit Bernoulli-Experimente! Bernoulli-Experiment / Bernoulli-Kette Das Bernoulli-Experiment kann einmal (einstufiges Experiment) oder mehrmals (mehrstufiges Experiment; daraus ergibt sich die Binomialverteilung) durchgeführt werden, in letzterem Fall liegt eine sogenannte Bernoulli-Kette vor. Bernoulli-Experiment Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Versuchsausgängen (= Ergebnissen). Für ein Bernoulli-Experiment wird eine Bernoulli-verteilte Zufallsvariable X X X betrachtet. Bernoulli-Experiment Wird ein Bernoulli-Experiment n-mal unter identischen Bedingungen wiederholt, spricht man von einer Bernoulli-Kette. Die Bezeichnung geht auf die schweizerische Mathematiker-Familie Bernoulli zurück, insbesondere Jakob Bernoulli (1655-1705), der die Stochastik mitbegründete. Bernoulli Experiment (Video) In diesem Video wird erklärt, was ein Bernoulli Experiment ist. Du erfährst, wie es funktioniert und warum es in der Physik eine wichtige Rolle spielt. Ein einfacher und verständlicher Überblick über dieses wichtige Konzept! Bernoulli-Experiment Als Bernoulli - Experiment wird dabei ein Zufallsexperiment bezeichnet, bei denen sich genau zwei Elemente in der Ergebnismenge befinden, d.h es sind nur zwei Ergebnisse möglich. Bernoulli-Experimente in Mathematik Macht man keine weiteren Angaben zum Beobachtungsziel, so lautet die zugehörige Ergebnismenge Ω = {1; 2; 4; 5}, d.h. es liegt kein BERNOULLI-Experiment vor. Beobachtungsziel 1: Wird eine 1 gewürfelt oder nicht? Herleitung der Bernoulli Formel Die Bernoulli-Formel ist ein mächtiges Werkzeug in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, das es ermöglicht, die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl von Erfolgen in einer Serie von unabhängigen Bernoulli-Experimenten zu berechnen. Bernoulli Formel, Zufall & Experimente: Erklärung & Beispiele! Grundlagen zum Thema Bernoulli-Formel. Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Bernoulli-Formel zu berechnen. Zunächst lernst du, was ein Bernoulli-Experiment und was eine Bernoulli-Kette ist. Anschließend lernst du die Bernoulli-Formel kennen. Bernoulli-Experiment Ein Bernoulli-Experiment ist ein nach dem Schweizer Jakob I. Bernoulli benanntes Zufallsexperiment, das lediglich zwei verschiedenen Ausgängen (Ergebnisse) zulässt. Dabei ist es irrelevant, welche Wahrscheinlichkeiten die beiden Ausgänge des Zufallsexperimentes haben. Bernoulli Experiment / Kette Es liegt ein Bernoulli-Experiment vor. Die Summe der beiden Möglichkeiten bei einem Bernoulli-Experiment muss stets 1 betragen. Für die Münze hat sowohl das Wappen als auch die Zahl die Wahrscheinlichkeit 0,5. Was ist eigentlich ein Bernoulli-Versuch (Bernoulli-Experiment)? Eine Münze werfen ist ein Bernoulli-Experiment, denn es kann nur die beiden Ausgänge Kopf oder Zahl (man kann nur Kopf oder Zahl werfen). Auch das Würfeln kann man als Bernoulli-Versuch ansehen. Man kann zwar 6 verschiedene Zahlen würfeln, aber man kann beispielsweise "einen 6er würfeln" als Erfolg ansehen. Bernoulli Experiment • Formel von Bernoulli, Wahrscheinlichkeit Studyflix ist das Nr. 1 Lern- und Karriereportal für Schüler/innen, Studierende und Azubis mit mehr als 6 Millionen Nutzer/innen jeden Monat. Bernoulli Experiment Ein Bernoulli Experiment ist ein Zufallsexperiment, welches genau 2 mögliche Ergebnisse hat: Treffer / Niete. Die Wahrscheinlichkeit p für einen Treffer oder für eine Niete muss aber keinesfalls 50:50 bzw. 0,5 sein. Bernoulli-Experimente und Bernoulli-Ketten online lernen Ein Bernoulli-Experiment ist ein einstufiges Zufallsexperiment, bei welchem es nur zwei verschiedene Ergebnisse gibt. Diese werden üblicherweise als Treffer ( Erfolg ) oder Nicht-Treffer ( Misserfolg ) bezeichnet. Experiment, Bernoulli, Würfel, Glücksräder, Urnen, Experimente Oberstufe. W.14 | Standard-Experimente. Eigentlich rechnet man einen Großteil der Aufgaben in der Wahrscheinlichkeitsrechnung mit den immer gleichen Standard-Aufgaben: Würfel, Glücksräder, Urnen (denen entweder mit oder ohne Zurücklegen farbige Kugeln entnommen werden). Stochastik Mathe-Übungen online - Stochastik - Bernoullikette und Binomialverteilung / Kennzeichen eines Bernoulliexperiments und einer Bernoulli-Kette, Bestimmung der zugehörigen Parameter, Binomialverteilung bei vorgegebenen Parametern, Textaufgaben. Geometrische Verteilung • Erklärung und Beispiel · [mit Video] Jeder Versuch eine sechs zu würfeln ist dabei ein Bernoulli Experiment mit der Wahrscheinlichkeit p=. Mathematisch drückt man die geometrische Verteilung wie folgt aus: X~G(p) Wann liegt ein Bernoulli-Experiment vor? Ein Zufallsexperiment bei dem ein Ereignis E eintreten kann oder auch nicht. Die Wahrscheinlichkeit das das Ereignis E auftritt sollte p sein. Das Ereignis E wird meist auch Erfolg oder Treffer bezeichnet. essay homework paper phd project resume review speech study thesis